Bonjour à tous,
j'ai un exercice à faire sur les transformés en z. Il y a certaines parties pour lesquelles je ne suis pas certain de ce que j'ai commencé et d'autres où je suis un peu bloqué.
Vous serait-il possible de me d'indiquer si ce que j'ai commencé est juste et ensuite me guider pour continuer ?
Merci d'avance à tout ceux qui prendront le temps de m'aider.
Alexis
Exercice:
On considère un filtre numérique dans lequel le signal d'entrée est l'échelon unité n\rightarrow e(n) et le signal de sortie est un signal causal discret 𝑛 ⟼ 𝑥(𝑛) .
On rappelle que tout signal causal discret est nul pour tout entier strictement négatif.
Ce filtre est régi par l'équation récurrente :
3x(n)-2x(n-1)=2e(n)
1. Calculer 𝑥(0) , 𝑥(1) et 𝑥(2) . On fera apparaître, à chaque fois, au moins deux étapes du calcul. Et on donnera les valeurs exactes, sous forme de fraction de deux nombres entiers.
Pour x(0) :
3x(0)=2e(0)
x(0)=
Pour x(1) :
3x(1)-2x(0)=2e(1)
3x(1)=2+2x(0)
x(1)=
x(1)=
Pour x(2) :
3x(2)-2x(1)=2e(2)
3x(2)=2+2x(1)
3x(2)=2+
3x(2)=
3x(2)=
2. On note 𝑋(𝑧) la transformée en Z du signal 𝑥 . Donner la transformée en Z de l'équation ci-dessus. En déduire que
𝑋(𝑧) = .
3x(n)-2x(n-1)=2e(n)
3. Démontrer que, pour tout nombre 𝑧 différent de 0 , de 1 et de 2/3 on a :
𝑋(𝑧) =
En déduire une expression de 𝑥(𝑛) , en fonction de 𝑛 .
4. Vérifier, en faisant apparaître à chaque fois au moins deux étapes du calcul, qu'avec cette expression on retrouve bien les mêmes valeurs pour 𝑥(0) , 𝑥(1) et 𝑥(2) que celles calculées dans la question 1.
5. Déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 à partir duquel 𝑥(𝑛) ≥ 1,998