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Niveau école ingénieur
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Transformée de Fourier 1'

Posté par
Mathes1
15-11-23 à 12:44

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
On considère la fonction paire g(x) définie sur par :
g(x)=\begin{cases} 1-x , \tex{si} -1\leq x\leq 1 \\0 ,1<|x|\end{cases}
1) Calculer la transformée de Fourier F[g] de g(x). Calculer en particulier la valeur F[g(0)]
2) Retrouver, à l'aide d'un changement de variable, la valeur de l'intégrale.
A=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\dfrac{sin(t)}{t} \right)^{2} dt
Merci beaucoup d'avance !
Je propose pour 1)
F[g](v) =\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)e^{-2\pi ivx}dx=\int_{-1}^{1} \left( 1-x\right)e^{-2\pi ivx} dx=\left[ -\dfrac{(1-x)}{2\pi i v }e^{-2\pi i vx}\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1} \dfrac{1}{2\pi i v }e^{-2\pi i vx}dx=\dfrac{1}{\pi i v }e^{2\pi i v } +\dfrac{1}{(2\pi i v)²}\left[e^{-2\pi i v x } \right]_{-1}^{1}
=\dfrac{1}{\pi i v }e^{2\pi i v}+\dfrac{1}{4\pi²v²} e^{2\pi i v}-\dfrac{1}{4\pi²v²}e^{-2\pi i v }
••Pour F[g(0)]=F[g](v=0)=\int_{-1}^{1}(1-x) dx=2
2) indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance !

Posté par
Ulmiere
re : Transformée de Fourier 1' 15-11-23 à 14:01

C'est un bon début, mais tu n'as pas fini la question 1)

\sin(t) = \dfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}

Fais apparaitre du sinus dans ton expression de F(g)(v).
Elle n'est valable bien-sûr que pour v non nul.
Pour v = 0, c'est comme tu as fait une aire de triangle rectangle 2*2/2 = 2

Le 2), c'est le 1) + la formule de Plancherel

Posté par
Mathes1
re : Transformée de Fourier 1' 15-11-23 à 19:29

Bonjour
Il y a un problème ici :
F[g](v)=\dfrac{-i}{\pi v}e^{2\pi i v }+\dfrac{e^{2\pi i v} -e^{-2\pi i v}}{2i}\dfrac{i}{2\pi²v²}

Merci

Posté par
Mathes1
re : Transformée de Fourier 1' 15-11-23 à 19:53

Je trouve Ceci:
F[g](v)=\dfrac{-i}{\pi v}cos(2\pi v)+\dfrac{1}{\pi v} sin(2\pi v)+\dfrac{sin(2\pi v)}{2\pi²v²}i

Posté par
Ulmiere
re : Transformée de Fourier 1' 16-11-23 à 15:49

Si je pose u = 2\pi v, sauf erreur, le résultat est

2\left(i\dfrac{\sin(u)}{u^2}-i\dfrac{e^{iu}}{u}\right) = 2\left(i\dfrac{\sin(u)-u\cos(u)}{u^2} + \dfrac{\sin(u)}{u}\right) = 2\left(\sin_c(u) - i\sin_c'(u)\right).

et

\int \sin_c^2(u)du + \int \sin_c'(u)^2du = \dfrac14\int |F(g)(u/2\pi)|^2du = 2\pi\dfrac14\int_{-1}^1 (1-t)^2dt = \dfrac{4\pi}{3}

Posté par
Mathes1
re : Transformée de Fourier 1' 16-11-23 à 21:59

Bonjour
Je ne comprends pas cette ligne

Citation :
\int \sin_c^2(u)du + \int \sin_c'(u)^2du = \dfrac14\int |F(g)(u/2\pi)|^2du = 2\pi\dfrac14\int_{-1}^1 (1-t)^2dt = \dfrac{4\pi}{3}

C'est la formule de Parseval plancherel qui stipule que
\int |g(x)|² dx=\int |\hat g(u)|²du

Posté par
Mathes1
re : Transformée de Fourier 1' 18-11-23 à 14:09

Bonjour
S'ils vous plaît il y a quelqu'un ?
Merci beaucoup beaucoup d'avance



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