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transformée de Fourier
salut, j'aimerai bien savoir comment calculer la transformée de Fourier de f(x)=(sinx)/x et bien sur f(x) appartient à L2,et merci pour votre aide.
Bonsoir à tous
a priori, on ne peut pas définir l'intégrale comme ça (la fonction n'est pas intégrable). On est obligé, de passer par une suite de fonctions qui converge vers la fonction dans
. Il me semble que l'on peut prendre
.
Il suffira alors de calculer la transformée de Fourier de cette fonction et de faire tendre vers 0.
Kaiser
En fait, on n'a pas vraiment le choix car dans le cas général d'une fonction de carré intégrable mais non intégrable, on doit passer par des suites de fonctions de qui tendent vers notre fonction au sens
(car la transformée de Fourier d'une telle fonction est pratiquement définie ainsi).
Kaiser
merci Kaiser, en fait j'ai essayer de calculer TF( f
)=
sin x/x exp(-x2)exp (-ixt)dx mais ca marche pas , j'ai essayer avec integration par partie mais,si vous pouver me donner une indication pour calculer cette integrale je vous remercis infiniment.
cette transformée de Fourier ne se calcule pas directement (sinon, ça serait trop facile ! 
)
Il faudrait par exemple, essayer de calculer la dérivée de cette transformée de Fourier.
Autre chose : je crois que je me suis trompé ! 
Il faudrait plutôt considérer
car sinon, on est un peu embêté pour calculer la limite.
Kaiser
Salut fusionfroide
Le problème ne se pose pas à ce niveau mais plus loin : je me retrouve à devoir calculer la limite d'une certaine intégrale à paramètre mais je me retrouve bloqué dans le calcul de cette limite.
Kaiser
Bonjour,
dans le cas général d'une fonction de carré intégrable mais non intégrable
On n'a pas
non !
contre-exemple :
f(x)=0 si |x|<1 et f(x)=1/x sinon.
f est de carré intégrable mas intégrable.
Kaiser
non je dois dire des betises vu que la fonction 1/t sur [1,+oo[ contredit ça.
mais il me semble que c'est vrai sous certaines conditions, non ?
Ok, merci kaiser.
Mais il me semble avoir déjà lu un théorème sur l'inclusion des L^p c'est moi qui divague ou pas ? 
Salut Rouliane.
Pour toi, L^p c'est l'espace quotienté par N_p ou alors l'espace des fonctions telles que ?
pou rmoi c'est l'espace des classes de fonction de puissance p intégrables, donc le 2 ème cas ( mais c'est pas pareil que le premier ? )
Bien elle est sigma-finie mais pas finie.
Tu prends [-n,n] qui est de mesure 2n,et bien ca tend vers l'infini avec n.
Mais tu peux écrire R comme réunion dénombrable d'ensembles de mesures finis.
pou rmoi c'est l'espace des classes de fonction de puissance p intégrables, donc le 2 ème cas ( mais c'est pas pareil que le premier ? )
Non ce n'est pas pareil
ok merci.
je maitrise pas trop ces trucs là, j'avais à peu près capté les fonctions mesurables, mais les mesures de Lebesgue, etc fautdrait que je revois ça
(x)que Kaiser viens de donner ca marche pas
ça ne marche pas ou bien tu n'arrives pas à aboutir ?
Pour ma part, je tombe sur un résultat plutôt satisfaisant.
Où ça coince exactement ? Dans le calcul de la transformée de Fourier de la fonction ? Si c'est le cas, as-tu dérivé comme je te l'avais indiqué dans mon message de 12h13 ?
Kaiser
En fait, après avoir dérivé (entre parenthèses, en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégrale), tu tombes sur une intégrale que tu peux calculer explicitement. Ce n'est qu'à ce moment qu'il faudra intégrer.
Kaiser
salut!
posté par : kaiser (Modérateur)
non !
contre-exemple :
f(x)=0 si |x|<1 et f(x)=1/x sinon.
f est de carré intégrable mas intégrable
En effet ,cette fonction est dans l'espace L1 et L2.Pour contre exemple on peut prendre la fonction sinx/x qui est de carre sommable mais pas integrable.
Bonjour,
je ne pense pas qu'il y ait lieu d'aller chercher des choses compliquées : cette intégrale se ramène sans grande difficulté à un genre d'intégrale impropre bien connue ( intégrale de sin(t)/t entre 0 et +infini )
Bonjour JJa
Tout dépend de ce que l'on a comme définition de la transformée de Fourier.
En effet, pour ma part, la transformée de Fourier est définie dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue (donc on ne parle pas de semi-convergence) pour une fonction intégrable (et non pas pour les fonctions f telles que possède une intégrale convergente et ce pour tout x) et pour les fonctions de carré intégrable (par prolongement).
Ici, il se trouve que ça marche.
Plus précisément, la transformée de Fourier de la fonction est égale à l'intégrale de la fonction multipliée par l'exponentielle complexe. Maintenant, est-ce le cas de manière générale ? (je ne connais pas la réponse)
Kaiser
Bonjour à tous,
beaucoup de choses ont été dites dans cette longue discussion et je suis bien d'accord avec les interventions qui tendent à resituer la question posée dans un cadre plus général, par exemple ce qu'a très bien dit Kaiser (que je salue à cette occasion) : qui donc ne serait pas d'accord ?
Mais, c'est comme pour un paquet cadeau : il y a le contenu et l'emballage. En l'occurence, le contenu aurait du être le résultat souhaité, c'est à dire la transformée de Fourier demandée, écrite noir sur blanc.
Mais, malgré un très bel emballage, le paquet cadeau restait vide. C'est pour cela que je me suis permis d'intervenir d'une façon passablement terre-à-terre.
On dit "qui peut le plus peut le moins". A mon sens, le "moins" est d'aboutir au résultat. Bien sûr, le "plus" est aussi d'aboutir au résultat, mais en se plaçant dans le meilleur cadre théorique possible.
Il est évident que ma réponse se plaçait dans un cadre théorique pauvre et étroit. Et c'était tout à fait volontaire. Ma première phrase était claire : "Je ne pense pas qu'il y ait lieu d'aller chercher des choses compliquées". Je suis bien d'accord qu'un meilleur emballage aurait été le bienvenu et j'aurais pu le faire. Mais était-ce vraiment ce que demandait jakob210 à l'origine de la question posée ?
Ensuite, que la discussion dérive sur des questions théoriques intéressantes, on s'en félicite. Mais, comme on dit "ne mettons pas la charrue avant les boeufs".
Bonjour à tous,
sans vouloir te contredire sur le fond JJa (je suis d'accord avec toi sur le fait d'apprendre à viser l'efficacité avant les raffinements), je ne pense pas que la théorie ne soit qu'un emballage:
elle peut servir à savoir si un résultat est juste ou faux, par exemple.
En l'occurence, la question posée par Kaiser me semble pertinente:
si on applique une méthode de calcul à un exemple qui ne rentre pas dans le cadre d'application théorique et qu'on trouve malgré tout un résultat, que peut-on bien en déduire? Et la réponse trouvée est-elle bien la "bonne"?
Cordialement,
Tigweg
Bonjour Tigweg,
OK, l'image du paquet cadeau et de son emballage peut choquer, je le comprends bien.
Mais que souhaitait exactement jakob210 ? qu'on lui indique une méthode simple pour trouver la transformée de la fonction en question, ou bien attend-t-il une démonstration de plus haut niveau ?
Quoi qu'il en soit, la méthode je j'ai indiquée n'est pas sans fondement théorique. Bien sûr, elle part de la définition de transformation de Fourier que l'on voit avant même de connaître l'intégrale de Lebesgue. Mais n'était-ce pas suffisant en l'occurence ? Jakob210 pourrait nous le dire.
De plus, se ramenant à un genre d'intégrales connues, je ne vois pas quel doute on pourrait avoir sur le fait que le résultat trouvé est bien le bon.
On est bien d'accord que, d'une façon plus générale et pour d'autres fonctions, il aurait été légitime de se poser des questions plus fondamentales : je n'ai jamais dit que la question posée par Kaiser n'était pas pertinente (ni impertinente !). Bien au contraire, je la trouve très pertinente pour aller au delà de la simple question initialement posée par Jakob210.
C'est parfait JJa, tant que tu es sûr que la réponse trouvée par ce procédé est nécessairement la bonne.
Tigweg
Bonsoir à tous
OK, dans ce cas, tout va bien. 
Comme tu le soulignes, JJa, reste à savoir ce qu'en pense jakob210 !
Kaiser
Salut H_aldnoer, comment vas-tu?
(Tu peux remercier Nicolas75, c'est lui qui m'a donné envie de revenir! )
Tu as réussi tes examens?
Tigweg
Cava!
C'est bon de retrouver certains membres !!
Alors pour mes exams, ça c'est assez bien passé mais j'ai quand même du pain sur la planche pour l'année prochaine (la dernière pour la licence). J'espère pouvoir conter sur ton aide dans l'ile !!
A+
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