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Transformée de Fourier 2'

Posté par
Mathes1 27-12-23 à 09:49

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
1) a) soit la fonction f(x) , définie par
f(x)=\begin{cases} e^{-x} , & \text{si } x>0\\ 0, & \text{si } x<0\end{cases}
•Calculer F(v)=F[f(x)] la transformée de Fourier TF de f(x) et en déduire la TF de f(3x) et la TF de g(x) , définie par
g(x)=\begin{cases} 0 , & \text{si }x>0 \\e^{x}, & \text{si } x\leq 0\end{cases}
b) Déduire la TF de h(x) tel que h(x)=e-|x|=f(x)+g(x)
c) Par la méthode de votre choix , trouver le produit de convolution f(x)*f(3x)
2) trouver le résultat de l'expression en fonction de la fonction porte
\dfrac{sin(\pi x)}{\pi x }*\dfrac{sin(\pi x)}{\pi x }
3) trouver le résultat de l'intégrale suivante
I=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\dfrac{sin (\pi x )}{\pi x } \right)^{2}dx
et voici ce que je propose:
F(v)=TF(f(x))=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}e^{-2\pi i v x} dx=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}e^{-2\pi i v x} dx=\dfrac{1}{1+2\pu i v }
propriété:
\boxed{\red{F(ax)=\dfrac{1}{|a|}F(\dfrac{v}{a})}}
Donc F(3x)=\dfrac{1}{3}F\left(\dfrac{v}{3} \right)=\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{1+2\pi i \dfrac{v}{3}}=\dfrac{1}{3+2 \pi i v }
*On a  g(x)=f(-x)
G(v)=F(-v)=\dfrac{1}{1-2\pi i v }
b) TF(h(x))=F(v)+G(v)=\dfrac{1}{1+2\pi i v }+\dfrac{1}{1-2\pi i v }=\dfrac{2}{1+4\pi²v²}
c)
f(x)*f(3x)=?
TF(f(x)*f(3x))=F(v).F(3v)=\dfrac{1}{1+2\pi i v}.\dfrac{1}{3+2\pi i v}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1+2\pi i v }-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3+2\pi i v }
•A=F-1F(f(x)*f(3x))=F-1\left( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+2\pi i v }-\dfrac{\dfrac{1}{2}}{3+2\pi i v }\right)=\dfrac{1}{2}\left( f(x)-f(3x)\right)
2) une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
La fonction porte :
\pi (x)=\begin{cases} 1 , & \text{si } x\in [-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}] \\0, & \text{sinon} \end{cases}
Et \pi (v)=\dfrac{sin (\pi v)}{\pi v}
Merci beaucoup d'avance et bonne fin d'année

Posté par
Ulmierere : Transformée de Fourier 2' 27-12-23 à 13:11

Il y a quelques erreurs dans la rédaction du 1). Il manque une indicatrice dans ta première intégrale et un pi dans le résultat, mais tu l'as corrigé après.
Il faut aussi que tu fasses attention à ne pas écrire TF(f(x)), la transformée de Fourier transforme une fonction et non une expression. Il faut donc écrire TF(f) et TF(f \ast f(3\cdot)).
L'erreur de rédaction la plus gênante, c'est d'écrire g(x) = f(-x), sans préciser que x \neq 0, puisque f n'y est pas définie. A moins que ce soit là aussi une erreur de recopiage de l'énoncé
Ceci étant, la suite est correcte, puisque l'égalité est vraie presque partout pour la mesure de Lebesgue.

Pour le 2), je n'ai pas compris. As-tu mené ton calcul avec succès, ou est-ce que tu nous demandes de t'aider à faire le calcul ?

Pour le 3), utilise l'égalité entre la norme L2 d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier, et le théorème de convolution

Posté par
Mathes1re : Transformée de Fourier 2' 27-12-23 à 15:16

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Oui pour 1 c'est bien il y a un pi c'est juste j'ai tapé rapidement"\pu" ou lieu de "\pi"
Oui x≠0 pour la fonction f j'ai écrit l'énoncé telle quelle est.
2) comment depuis la fonction porte on trouve la résultat de produit de convolution.
Merci beaucoup d'avance

Posté par
Ulmierere : Transformée de Fourier 2' 27-12-23 à 15:55

Si p est la fonction porte (c'est à dire l'indicatrice de [-1/2,1/2]), alors elle est L1, L2, bornée, etc. Donc elle a une transformée de fourier, qui est donnée par

P(\nu) = \int_{-1/2}^{+1/2} e^{-i2\pi\nu x} dx

Si \nu = 0, cette intégrale vaut 1
Sinon, elle vaut h(\nu) = \cdots ???
Je te laisse faire le calcul

Ensuite, c'est une simple histoire de transformée inverse, ou plus simplement encore, de calcul de TF(P) = TF(TF(p)))

Posté par
Mathes1re : Transformée de Fourier 2' 27-12-23 à 16:26

Ok
Si  \nu \neq 0:
P(\nu) = \int_{-1/2}^{+1/2} e^{-i2\pi\nu x} dx=\left[ \dfrac{-1}{2\pi iv}e^{-2\pi i vx }\right]_{-1/2}^{1/2}=\dfrac{-1}{2\pi i v}e^{-\pi i v}+\dfrac{1}{2\pi i v }e^{\pi i v}=\dfrac{sin(\pi v)}{\pi v}
•donc A=TF\left( \dfrac{sin(\pi x)}{\pi x} *\dfrac{sin(\pi x)}{\pi x}\right)=TF(\dfrac{sin(\pi x)}{\pi x })TF\dfrac{sin(\pi x)}{\pi x }
On peut faire un changement de variable x=v
Merci beaucoup

Posté par
Ulmierere : Transformée de Fourier 2' 27-12-23 à 17:14

Je ne suis pas certain que tu aies bien compris où je voulais en venir.

Si on appelle h la fonction définie par h(x) = sin(pi.x)/(pi.x), alors TF(p) = h.
Rien que cela, répond déjà à la question 3, puisque l'intégrale I est la norme L2 au carré de h, qui est égale à la norme L2 au carré de p (Plancherel, Bessel-Parseval), qui vaut  1, puisque c'est l'aire sous la fonction porte.

Mais pour la 2), les calculs ne sont pas terminés, on te demande de calculer h * h en fonction de p.
Si on passe par la transformée de Fourier, cela donne h * h = TF^{-1}(TF(h)^2).
Sans calcul d'intégrale, juste en utilisant une propriété de ton cours, que vaut TF(h) ?

Posté par
Mathes1re : Transformée de Fourier 2' 27-12-23 à 17:43

Bonjour
Ok pour la 3 on pose x=v donc (sin(x)/(x))² c'est la fonction porte au carré c'est 1
Pour 2
h * h = TF^{-1}(TF(h)^2)=h(x)².


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