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Transformée de Fourier

Posté par
Mathes1 14-11-23 à 19:17

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Soit la fonction f(x)=e-|x|
1) calculer la transformée de Fourier de f
2) Déduire la transformée de Fourier réciproque de (( \hat f)
3) trouver,pour x réel quelconque,la valeur de l'intégrale
I=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{cos(xt)}{1+t^2} dt
Je propose pour 1)
f est paire et \hat f(\nu)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) e^{-2\pi i\nu x } dx
Donc
\hat f(\nu)=2\int_{0}^{+\infty} f(x)cos(2\pi \nu x) dx=2\int_{0}^{+\infty} e^{-x}cos(2\pi \nu x) dx =2Re(\int_{0}^{+\infty} e^{-(1+2\pi i \nu )x}dx)
=2Re\left[ \dfrac{-1}{1+2\pi i \nu} e^{-(1+2\pi i \nu)x}\right] _{0}^{+\infty}=2Re\left(\dfrac{1}{1+2\pi i \nu } \right)=2Re\left(\dfrac{1-2\pi i \nu}{1+4\pi²\nu²} \right)=\dfrac{2}{1+4\pi²\ni ²}
Pour 2 et 3)  indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance !

Posté par
Ulmierere : Transformée de Fourier 14-11-23 à 20:05

Ok pour le 1). Si tu as fait un peu de probabilités, tu vois le lien avec la loi de Cauchy

Pour la 2), je ne comprends pas ce que tu as essayé d'écrire
Si tu cherches la tranformée de la transformée, alors tu dois avoir quelque part dans ton cours une remarque qui dit que la tranformée de Fourier est "presque" une involution : F(F(f))(x) = f(-x).

Pour la 3), si tu remplaces cos(xt) par exp(ixt), tu ne reconnais pas une transformée de Fourier ?
Lien avec le 2) ?

Posté par
Mathes1re : Transformée de Fourier 14-11-23 à 20:24

Bonjour
Pour la 2) c'est déduire la transformée inverse de Fourier de \hat f
Nous avons :\hat f(\nu)=\dfrac{2}{1+4\pi²\nu²}
Donc \hat f^{-1}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)e^{2\pi i y\nu } d \nu
C'est difficile de calculer ça, c'est pour cela qu'on  demande de "déduire"

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Transformée de Fourier 14-11-23 à 22:45

Bonsoir

2) C'est le théorème d'inversion :


si f et \hat f sont dans L^1 (de module intégrable) alors la fonction \hat f^{-1}:x\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty} \hat f(\nu)e^{2\pi i x\nu } d \nu est continue et est égale à f presque partout.

3) Et comme ici f est en plus continue on conclut que \Large\boxed{\forall x\in\mathbb R~~,~~f(x)=e^{-|x|}=\hat f^{-1}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\cos(2\pi x\nu)}{1+4\pi^2\nu^2}d\nu}

le changement de variable \Large\boxed{t=2\pi\nu} donne alors \blue\Large\boxed{\forall x\in\mathbb R~~,~~\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{1+t^2}dt=\pi e^{-|x|}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Mathes1re : Transformée de Fourier 15-11-23 à 11:32

Bonjour
Merci beaucoup à vous deux !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Transformée de Fourier 15-11-23 à 18:33

C'est un plaisir Mathes1


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