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Transformée de Fourier d'une fonction à support compact.
Bonsoir,
On me demande de montrer que la transformée de Fourier d'une fonction de classe à support compact n'est pas à support compact.
De plus, on demande de vérifier que l'ensemble des zéros de sa transformée de Fourier est discret...
Une idée pour démarrer cet exercice ?
Bonsoir Merli,
Penses à voir la transformée de Fourier de ta fonction comme un e fonction à valeur complexe.
Si la Transformée de Fourier était à support compact...
Bonsoir Foxdevil,
Effectivement on peut s'en sortir de façon élémentaire, invoquer Paley-Wiener, c'était un peu sortir le marteau-pilon ... (d'autant que l'intérêt de PW, c'est surtout la réciproque)
Salut Arkhnor,
Oui en effet 
(ça me surprend de toi, d'autant plus qu'on avait un peu débattu sur cette question ^^)
Je m'en rappelle très bien; le pire c'est que je me suis souvenu de cette discussion quand j'ai répondu ici.
Bonjour et merci pour votre intervention à tous les deux 
Je pense avoir trouvé dans mon cours la solution à ce problème : le théorème des zéros isolés. En effet, la transformée de Fourier est holomorphe sur C, donc analytique sur C, et l'ensemble de ses zéros est donc discret...
Qu'en pensez-vous ?
Tout à fait!
Juste histoire d'être rigoureux...
la transformée de Fourier est holomorphe sur C, donc analytique sur C
Un théorème du cours dit que pour ouvert, toute fonction holomorphe sur
y est analytique.
De plus, la transformée de Fourier d'une fonction est holomorphe par le théorème d'holomorphie sous le signe intégral (vu aussi en cours)
la transformée de Fourier d'une fonction est holomorphe par le théorème d'holomorphie sous le signe intégral (vu aussi en cours)
On se place sur avec
la tribu borélienne de
et
la mesure de Lebesgue sur
.
On pose où
avec :
(i) est intégrable sur
comme produit de fonctions intégrables sur
(
est de classe
à support compact, donc intégrable (elle est bornée, car continue sur un compact de
) sur son support, donc sur
également), et
est intégrable sur
.
(ii) est holomorphe sur
(iii) qui est bornée sur son support, donc bornée sur
donc intégrable sur
.
Et donc est holomorphe sur
(iii)
L'argument montre en fait de manière générale qu'un individu à support compact n'a jamais de transformée de Fourier à support compact (excepté si c'est la fonction nulle).
Oui en effet, je l'ai bien vu en écrivant ma preuve.
Je vous remercie tous de votre coup de main et vous avez bien fait de me demander d'être très rigoureux, j'ai pu remarquer que cela revenait souvent dans les commentaires de mes profs...
Si seulement il existait le livre "Etre rigoureux en math pour les nuls"
Je crois que ça en aiderait plus d'un!
Il n'y a pas de quoi. Bon courage et n'hésite pas si tu as d'autres questions.
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