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Transformée de Fourier d'une gaussienne asymétrique

Posté par
trollpoilu 27-05-10 à 09:09

Bonjour à tous !

Je cherche à exprimer formellement la transformée de Fourier d'une gaussienne asymétrique, mais je bloque :

La gaussienne asymétrique est donnée par, avec \alpha le coefficient d'asymétrie :

\begin{eqnarray} \\ h_{as}(x)&=&\frac{1}{\pi\sigma^2}e^{-x^2/2\sigma^2}\int_{-\infty}^{\alpha x}\text{d}t~e^{-t^2/2\sigma^2}\\ \\ ~&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-x^2/2\sigma^2} \left(1+\text{erf} \left( \frac{x\alpha}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right) \\ \end{eqnarray} \\

Puisque \frac{d}{dx} \text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}} e^{-x^2}, on en déduit que la TF de f(x)=\text{erf} \left( \frac{x\alpha}{\sigma\sqrt{2}} \right) est :

F(q)=\frac{2}{iq}e^{-q^2 \sigma^2 / 2 \alpha^2}

Par conséquent, la TF de la gaussienne asymétrique doit s'exprimer :

H_{as}(q)=e^{-q^2 \sigma^2/2} + \frac{2}{i} \int_{-\infty}^{ \infty}\frac{ \text{d}t}{t} e^{-t^2\sigma^2/2\alpha^2} e^{-(q-t)^2\sigma^2/2}

mais ce produit de convolution ne converge pas, si je ne m'abuse ? Ai-je fais une erreur quelque part, ou alors ce produit de convolution peut-il se calculer ?

Merci d'avance de toute aide sur ce problème !

Posté par
bamboumre : Transformée de Fourier d'une gaussienne asymétrique 27-05-10 à 23:28

Essayes peut etre en derivant h(x). Faire ensuite la TF. Il semble que l'on ait une equation diff en .

Posté par
JJare : Transformée de Fourier d'une gaussienne asymétrique 28-05-10 à 09:39

Bonjour,

l'intégrale en question est convergente au sens de Cauchy. Par passage au sinus hyperbolique, elle se ramème à une intégrale impropre comportant un terme du genre sinh(x)/x
Finalement, elle s'exprime avec la fonction i*erf(i*x) , ou sans passer par les complexes, grâce à la fonction de Dawson
(page jointe : un changement de notations a permis de simplifier les écritures)

Transformée de Fourier d\'une gaussienne asymétrique


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