Pour la 3e question,
La trace d'un opérateur représente la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité.
Est-ce que cela voudrait dire que vaut la somme des valeurs propres complexes de
comptées avec leur multiplicité et que
?
.
Avec valeur propre de
.
Comment vérifier que peut prendre les valeurs
?
J'en ai ras le bol !
Encore une fois, tu fais énormément attention à la forme de ce que tu écris (joli LaTeX) et tu ne prêtes aucune attention au contenu de ce que tu écris.
Non, la trace de ne vaut pas 1, ce n'est pas ce qui a été montré à la question 2, et non, l'expression de la trace de
en fonction de ses valeurs propres et de leurs multiplicités n'est pas ce que tu écris.
Réfléchis, bon sang !
J'arrête l'aide, au moins jusqu'à ce que tu aies correctement traité la question 3. Ce n'est pas compliqué, il suffit d'utiliser CORRECTEMENT le résultat de la question 2 pour en tirer une information sur la trace de et d'écrire CORRECTEMENT le lien entre trace et valeurs propres.
Bonjour GBZM
est diagonalisable et ses valeurs propres appartiennent à
.
Donc sa trace .
Mais je ne vois aucun lien entre et
pour le moment.
Juste une question : une matrice 3x3 a comme valeurs propres 1 de multiplicité 2 et -1 de multiplicité 1. Quelle est sa trace ?
On montre pour chaque et
que
avec
4) On a :
Or
Donc car seul l'élément
vaut 1 et les autres éléments de la diagonale principale de
sont tous nuls.
Finalement
Tu as pu t'en sortir pour la première partie de la question 3, mais la deuxième ne va pas. Tu ne montres pa ce qui est demandé.
Pour la question 4 tu as bien vu comment utiliser la trace de , mais il y a des choses qui ne vont pas dans l'écriture. Par exemple
vont de
à
et ne sont pas les numéros de ligne et de colonne donc ton "seul l'élément
" ne va pas.
Bonsoir GBZM
Pour la 2e partie de la question 3), on a :
Donc il existe des nombres et
tels que
.
Ça ne va toujours pas pour la deuxième partie de la question 3. Ce que tu as écrit suppose que est égal à
ou
. Mais c'est justement ce que tu dois montrer à partir de la première partie de la question 3. Que peux-tu dire des entiers
et
?
Question 4 : "les autres éléments de la diagonale principale de sont tous nuls" ; pourquoi ? Ça demande un argument.
Question 5 : ??? N'écris pas des choses au petit bonheur la chance !
On peut utiliser ici la question 3 (en particulier ce que je voudrais te voir dire sur et
) et l'expression du déterminant de
obtenue en question 1 (rappel : le déterminant est le produit des valeurs propres). Il est utile de regarder la parité de
suivant que
ou
.
Salut GBZM.
On peut poser
et
, puisque
, on a
et
.
Or
Par conséquent, on peut écrire:
.
est atteint pour
et
éléments de l'ensemble
en particulier pour
et
mais je ne vois pas comment le justifier clairement à part tester les differentes valeurs de
et
.
Peut-être que j'utilise mal les informations sur et
ou que je raconte n'importe quoi...
Les autres éléments de la diagonale principale de
sont tous nuls car
avec
et
à partir de
puisque les
sont de la forme
avec
,
étant impair et supérieur à
.
En lisant les premières lignes je vois que tu as de nouveau écrit des choses au petit bonheur la chance. J'arrête ma lecture et je te laisse réfléchir mieux.
Un coup de pouce : si tu as deux entiers et
tels que
, que peux-tu dire de
et
? Tu as quatre solutions pour le couple
Dans ton histioire, et
. Pour chacune des quatre solutions, calcule la somme des valeurs propres de
(la trace de
).
Bonsoir GBZM
Donc .
5) Si alors
D'après mon calcul du 10-10-23 à 23:10 la partie imaginaire de est nulle dans ce cas.
Il n'est pas difficile de montrer que est un réel positif.
Donc de voir qu'on est dans le cas de la question 3.
Le raisonnement est similair pour , mais cette fois c'est la partie réelle de
qui est nulle et
est un imaginair pur positif.
Si je n'écris pas "des choses au point bonheur", bien sûr.
Bon, la question 3) est pliée. Tu as donné l'argument attendu pour la question 4) (on utilise ici aussi que est impair).
Pour le 5) ça ne va toujours pas. Le petit bonheur la chance dans ton calcul du 10-10-23 à 23:10 se trouve dans l'affirmation que . La justification que tu donnes ne tient pas la route : elle "montrerait" qu'en fait la somme est nulle ! Réfléchis sur ce que tu as écrit !
Je rappelle ce que j'ai écrit plus haut :
Salut GBZM, je n'ai pas su utiliser ta piste du 11-10-23 à 09:53.
Soit
6) On a
Et impair.
Pour , on montre que
Donc
Or si alors
est pair et si
alors
est impair.
Donc on a soit soit
.
Posons
On veut montrer que prend les mêmes valeurs que
.
Puisque , on a
Soit et
Soit et
Comme , alors
et
sont de signe opposé donc
et donc
On peut donc écrire que avec
.
Si je n'écris pas n'importe quoi bien sûr.
Comment passes-tu de la première ligne de ton calcul à la deuxième ligne ? Pourquoi la somme des sinus devient l'opposé de la somme des sinus ?
Comment justifies-tu ton ? C'est bien ça le produit des valeurs propres (
avec multiplicité
,
avec multiplicité
,
avec multiplicité
,
avec multiplicité
) ?
Oui, mais l'entourlouupe est dans la dernière inégalité de la 2e ligne.
"On a plutôt" : ben non, c'est n'importe quoi.
Ce fil n'a que trop duré.
Rappelons que
On a vu que ou bien et
, ou bien
et
.
On a vu aussi que .
est
fois la somme des valeurs propres de
:
où
et
.
Le déterminant de est le produit de ses valeurs propres :
Tous les facteurs de dans la formule (1) sont réels sauf
.
Si , alors
est pair, donc
est réel et
d'après (2), donc
est réel et
.
Si , alors
est impair, donc
est imaginaire pur et
d'après (2), donc
est imaginaire pur et
.
Bonjour GBZM
Au niveau de la deuxième équation, je n'ai pas compris la 2e égalité et au niveau de la 1ere égalité je suppose que c'est plûtot non ?
Pour la question 7) on a et
Si , alors
et
Si , alors
et
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