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Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 04-10-23 à 11:27

matheux14 @ 04-10-2023 à 09:34

ce n'était pas si évident..
Tu plaisantes ?

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 04-10-23 à 11:46



Pour la 3e question,

Citation :
3) Pour \alpha \in \C,  m_{\alpha} = \dim(ker(U_n - \alpha I_N)), soit m_{\alpha} représente la multiplicité associé à la valeur propre \alpha.

On a U = \dfrac{1}{\sqrt N} V(1 , \zeta, \zeta^2, \dots, \zeta^{N - 1})

Il me semble donc que le lien entre entre |S| et la quantité qui fait intervenir les multiplicités des valeurs propres est :

\dfrac{|S|}{\sqrt N} = (m_1 - m_{-1})^2 + (m_i - m_{-i})^2 et en utilisant U^2, on a \left(\dfrac{|S|}{\sqrt N}\right)^2 = (m_1 + m_{-1}) - (m_i + m_{-i})  si je ne raconte pas n'importe quoi bien sûr.

Mais aucune idée de comment le montrer.

Est-il possible de relier les multiplicités des valeurs propres à la structure de la matrice V et aussi U ?

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 04-10-23 à 12:00

Pense à la trace de la matrice U.

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 04-10-23 à 14:25

U = \dfrac1{\sqrt N}V\left(1,\zeta,\zeta^2,\ldots,\zeta^{N-1}\right)

tr(U) = \dfrac{1}{\sqrt{N}}\left (1 + \zeta^2 + \dots + \zeta^{(N - 1)^2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits^{N - 1}_{\ell = 0} \zeta^{\ell^2}

tr(U) = \dfrac{|S|}{\sqrt{N}} = 1

La trace d'un opérateur u représente la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité.

Est-ce que cela voudrait dire que tr(U) vaut la somme des valeurs propres complexes de U comptées avec leur multiplicité et que tr(U) = (m_1 - m_{-1})^2 + (m_i - m_{-i})^2 ?

m_{\alpha} = \dim(ker(U - \alpha I_N)).

Avec \alpha valeur propre de U.

Comment vérifier que \alpha peut prendre les valeurs 1, -1, i, -i ?

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 04-10-23 à 15:12

J'en ai ras le bol !

Encore une fois, tu fais énormément attention à la forme de ce que tu écris (joli LaTeX) et tu ne prêtes aucune attention au contenu de ce que tu écris.
Non, la trace de U ne vaut pas 1, ce n'est pas ce qui a été montré à la question 2, et non, l'expression de la trace de U en fonction de ses valeurs propres et de leurs multiplicités n'est pas ce que tu écris.
Réfléchis, bon sang !

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 04-10-23 à 15:19

J'arrête l'aide, au moins jusqu'à ce que tu aies correctement traité la question 3. Ce n'est pas compliqué, il suffit d'utiliser CORRECTEMENT le résultat de la question 2 pour en tirer une information sur la trace de U et d'écrire CORRECTEMENT le lien entre trace et valeurs propres.

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 07-10-23 à 15:31

Bonjour GBZM

U est diagonalisable et ses valeurs propres appartiennent à \{1 ; -1 ; i ; -i\}.

Donc sa trace tr(U) = 1 - 1 + i - i = 0.

Mais je ne vois aucun lien entre |S|, tr(U) et m_1, m_{-1}, m_i, m_{-i} pour le moment.

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 08-10-23 à 21:04

Juste une question : une matrice 3x3 a comme valeurs propres 1 de multiplicité 2 et -1 de multiplicité 1. Quelle est sa trace ?

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 08-10-23 à 22:54

Sa trace vaut alors 1 \times 2 + (-1) \times 1 = 1

Du coup je m'étais trompé sur la trace de U :

tr(U) = m_1 - m_{-1} + i~ m_i - i ~m_{-i}

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 09-10-23 à 01:45

En poursuivant :

tr(U) = (m_1 - m_{-1}) + i~(m_i - m_{-i})

Soit |tr(U)| = \sqrt{(m_1 - m_{-1})^2 + (m_i - m_{-i})^2}~~ {\red{\boxed{1}}}

Or U = \dfrac1{\sqrt N}V\left(1,\zeta,\zeta^2,\ldots,\zeta^{N-1}\right)

tr(U) = \dfrac{1}{\sqrt{N}}\left (1 + \zeta^2 + \dots + \zeta^{(N - 1)^2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits^{N - 1}_{\ell = 0} \zeta^{\ell^2}

tr(U) = \dfrac{S}{\sqrt N}

Donc |tr(U)| = \dfrac{|S|}{\sqrt{N}} = 1

|tr(U)| = 1~~ {\blue{\boxed{2}}}

D'après \red \boxed{1} et \blue \boxed{2} on a :

\sqrt{(m_1 - m_{-1})^2 + (m_i - m_{-i})^2} = 1

Finalement (m_1 - m_{-1})^2 + (m_i - m_{-i})^2 = 1

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 09-10-23 à 02:49

On montre pour chaque \varepsilon \in \{-1, +1\} et \eta \in \{1, i\} que |S| = \sqrt N avec S = \varepsilon \eta \sqrt{N}.

4) On a : tr(U^2) = (-1)^2 \times m_1 + (-1)^2 \times m_{-1} + i^2 \times m_i + (-i)^2 \times m_{-i}

Or U^2_{(i, j)} = \dfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \zeta^{k(i + j)} = \begin{cases} 1 \text{ si }  N \mid i + j, \\\\ 0 \text{ sinon.} \end{cases}

Donc tr(U^2) = 1 car seul l'élément (i, j) = (1 ; 1) vaut 1 et les autres éléments de la diagonale principale de U^2 sont tous nuls.

Finalement m_1 + (-1)^2 + m_{-1} - \times m_i - m_{-i} = 1

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 09-10-23 à 02:59

Oups

Finalement m_1 + m_{-1} - m_i - m_{-i} = 1

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 09-10-23 à 07:58

Pour la question 5), je crois que j'ai pu faire mais c'est quand même un peu long..

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 09-10-23 à 08:40

Tu as pu t'en sortir pour la première partie de la question 3, mais la deuxième ne va pas. Tu ne montres pa ce qui est demandé.
Pour la question 4 tu as bien vu comment utiliser la trace de U^2, mais il y a des choses qui ne vont pas dans l'écriture. Par exemple i,j vont de 0 à N-1 et ne sont pas les numéros de ligne et de colonne donc ton "seul l'élément (i,j)=(1;1)" ne va pas.

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 10-10-23 à 23:10

Bonsoir GBZM

Pour la 2e partie de la question 3), on a :

\begin{cases} |S| = \sqrt{N} \\\\ |S| = |\varepsilon \eta \sqrt{N}| =|\varepsilon \eta| \sqrt{N}  \end{cases} \Longrightarrow |\varepsilon \eta| = 1 \Longrightarrow \begin{cases} \epsilon = -1 \text{ et } \eta = 1 \\\
 \\ \quad \text{ ou } \\\
 \\ \varepsilon = -1 \text{ et } \eta = i \\\
 \\ \quad \text{ ou } \\\
 \\ \varepsilon = 1 \text{ et } \eta = 1 \\\
 \\ \quad \text{ ou } \\\
 \\ \varepsilon = 1 \text{ et } \eta = i \end{cases}

Donc il existe des nombres \varepsilon \in \{-1, +1\} et \eta \in \{1, i\} tels que S = \varepsilon \eta \sqrt{N}.

Citation :
4) On a : tr(U^2) = (-1)^2 \times m_1 + (-1)^2 \times m_{-1} + i^2 \times m_i + (-i)^2 \times m_{-i}

Or U^2_{(i, j)} = \dfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \zeta^{k(i + j)} = \begin{cases} 1 \text{ si }  N \mid i + j, \\\\ 0 \text{ sinon.} \end{cases}

Donc tr(U^2) = 1 car seul l'élément U^2_{(0, 0)} = 1 vaut 1 et les autres éléments de la diagonale principale de U^2 sont tous nuls.

Finalement m_1 + m_{-1} - m_i - m_{-i} = 1


5) N \equiv 1 [4] \Longrightarrow N = 4p + 1, p entier.

On calcule \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \Im(\zeta^{\ell^2}) = \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \sin\left(\dfrac{2\pi \ell^2}{4k + 1}\right)

\begin{aligned} 
 \\ \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \sin\left(\dfrac{2\pi \ell^2}{4k + 1}\right) &= \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \Im\left(e^{i\frac{2\pi \ell^2}{4k + 1}}\right) \\\
 \\ &= \Im \left(\sum\limits^{4k}_{\ell = 0} e^{i\frac{2\pi \ell^2}{4k + 1}}\right) \\\
 \\ &= 0
 \\ \end{aligned}

Car on a montré que \sum\limits^{N - 1}_{n = 0} \zeta^{nq} = \begin{cases} 1 \text{ si } N \mid q \\\\ 0 \text{ sinon} \end{cases} et \ell \le 4k < 4k + 1 \Longrightarrow \ell \nmid 4k + 1

Par conséquent la partie imaginaire de S = \sum\limits^{N - 1}_{\ell = 0} \zeta^{\ell^2} = \varepsilon \eta \sqrt N est nulle si N \equiv 1 [4].

On peut donc prendre \eta = 1

De façon analogue on montre que la partie réelle de S = \sum\limits^{N - 1}_{\ell = 0} \zeta^{\ell^2} = \varepsilon \eta \sqrt N est nulle si N \equiv 3 [4].

On peut donc prendre \eta = i.

6) On a \det(U) = N^{-\frac{N}{2}} i^{\frac{N(N - 1)}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right)

Il me semble qu'il faut montrer que N^{-\frac{N}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right) = 1 \text{ ou } -1

Donc en fonction de N, ~ \varepsilon = N^{-\frac{N}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right)

Mais je sèche sur le calcul.

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 11-10-23 à 09:53

Ça ne va toujours pas pour la deuxième partie de la question 3. Ce que tu as écrit suppose que S est égal à \pm1 ou \pm i. Mais c'est justement ce que tu dois montrer à partir de la première partie de la question 3. Que peux-tu dire des entiers |m_1-m_{-1}| et |m_i-m_{-i}| ?

Question 4 : "les autres éléments de la diagonale principale de U^2 sont tous nuls" ; pourquoi ? Ça demande un argument.

Question 5 : ??? N'écris pas des choses au petit bonheur la chance !
On peut utiliser ici la question 3 (en particulier ce que je voudrais te voir dire sur |m_1-m_{-1}| et |m_i-m_{-i}| ) et l'expression du déterminant de U obtenue en question 1 (rappel : le déterminant est le produit des valeurs propres). Il est utile de regarder la parité de N(N-1)/2 suivant que N\equiv 1 \pmod4  ou N\equiv3\pmod4.

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 12-10-23 à 18:12

Salut GBZM.

\bullet On peut poser |\varepsilon| = |m_1 - m_{-1}| et |\eta| = |m_i - m_{-i}|, puisque \varepsilon^2 + \eta^2 = 1, on a |\varepsilon| \le 1 et |\eta| \le 1.

\begin{cases} |\varepsilon| \le 1 \\\ |\eta| \le 1 \end{cases} \Longrightarrow |\varepsilon \eta| \le 1

Or |tr(U)| = 1 \ge 1 \Longrightarrow |S| \ge 1 \sqrt N \ge |\varepsilon \eta| \sqrt N

Par conséquent, on peut écrire:

|S| \ge |\varepsilon \eta| \sqrt N.

S = \varepsilon \eta \sqrt N est atteint pour \varepsilon et \eta éléments de l'ensemble \{1 ; -1 ; i\} en particulier pour \varepsilon \in \{1 ; -1\} et \eta \in \{1 ; i\} mais je ne vois pas comment le justifier clairement à part tester les differentes valeurs de \varepsilon et \eta.

Peut-être que j'utilise mal les informations sur |m_1-m_{-1}| et |m_i-m_{-i}| ou que je raconte n'importe quoi...

\bullet Les autres éléments de la diagonale principale de U^2 sont tous nuls car N \mid i + j avec (i, j) = (0, 0) et N \nmid i + j à partir de i, j \ge 1 puisque les i + j sont de la forme 2(N - p) avec p \in \{1, 2, \dots, N - 1\}, N étant impair et supérieur à N - p.

\bullet

Citation :
Question 5 : ??? N'écris pas des choses au petit bonheur la chance !




J'ai montré que S = 1\sqrt N si N \equiv 1 [4], et S = i \sqrt N si N \equiv 3 [4].

Je ne vois pas ce qui empêche de prendre \eta = 1 si N \equiv 1 [4] et \eta = i si N \equiv 3 [4].

6) On a \det(U) = N^{-\frac{N}{2}} i^{\frac{N(N - 1)}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right)

Et \det(U) = 1 \times (-1) \times i \times (-i) = -1

Or si N \equiv 1 [4] alors \dfrac{N(N - 1)}{2} est pair et si N \equiv 3 [4] alors \dfrac{N(N - 1)}{2} est impair.

Donc on a soit i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm 1 soit i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm i.

Posons K = N^{-\frac{N}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right)

Cas 1) Si i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm 1 alors K = \pm 1

Cas 2) Si i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm i alors K = \pm i

Comme \det(U) = -1, alors K et i^{\frac{N(N - 1)}{2}} sont de signe opposé dans le cas 1) et de même signe dans le cas 2) donc  K \in \{\pm 1 ; \pm i\} et donc K \in \{1 ; i\}

On peut donc écrire que \det(U) = i^{\frac{N(N - 1)}{2}} \varepsilon avec \varepsilon = K = N^{-\frac{N}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right).

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 12-10-23 à 18:55

En lisant les premières lignes je vois que tu as de nouveau  écrit des choses au petit bonheur la chance. J'arrête ma lecture et je te laisse réfléchir mieux.
Un coup de pouce  : si tu as deux entiers a et b tels que a^2+b^2=1, que peux-tu dire de a et b ? Tu as quatre solutions pour le couple (a,b)
Dans ton histioire, a=m_1-m_{-1} et  b=m_i-m_{-i}. Pour chacune des quatre solutions, calcule la somme des valeurs propres de U (la trace de U).

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 13-10-23 à 20:11

Bonsoir GBZM

a^2 + b^2 = 1 \Longrightarrow (a ; b) = (1~ ;~ 0) \text{ ou } (-1 ~;~ 0) \text{ ou } (0 ~;~ 1) \text{ ou } (0 ~;~ -1)

(a ; b) = (1 ~;~ 0) \Longrightarrow tr(U) = m_1 - m_{-1} + i(m_i - m_{-i}) = 1 = \dfrac{S}{\sqrt{N}} \Longrightarrow S = +1 \sqrt{N}

(a ; b) = (-1 ~;~ 0) \Longrightarrow tr(U) = m_1 - m_{-1} + i(m_i - m_{-i}) = -1 = \dfrac{S}{\sqrt{N}} \Longrightarrow S = -1 \sqrt{N}

(a ; b) = (0 ~;~ 1) \Longrightarrow tr(U) = m_1 - m_{-1} + i(m_i - m_{-i}) = i = \dfrac{S}{\sqrt{N}} \Longrightarrow S = +i \sqrt{N}

(a ; b) = (0 ~;~ -1) \Longrightarrow tr(U) = m_1 - m_{-1} + i(m_i - m_{-i}) = -i = \dfrac{S}{\sqrt{N}} \Longrightarrow S = -i \sqrt{N}

Donc \exists \varepsilon \in \{-1, +1\} ~;~ \eta \in \{1, i\} / S = \varepsilon \eta \sqrt{N}.


5) Si N \equiv 1 [4] alors tr(U) = \dfrac{1}{\sqrt{N}} \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} e^{-i\frac{2\pi \ell^2}{4k + 1}}

D'après mon calcul du 10-10-23 à 23:10 la partie imaginaire de S est nulle dans ce cas.

Il n'est pas difficile de montrer que S est un réel positif.

Donc de voir qu'on est dans le cas (a ; b) = (1 ~;~ 0) de la question 3.

Le raisonnement est similair pour N \equiv 3 [N], mais cette fois c'est la partie réelle de S qui est nulle et S est un imaginair pur positif.

Si je n'écris pas "des choses au point bonheur", bien sûr.

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 14-10-23 à 11:26

Bon, la question 3) est pliée. Tu as donné l'argument attendu pour la question 4) (on utilise ici aussi que N est impair).
Pour le 5) ça ne va toujours pas. Le petit bonheur la chance dans ton calcul du 10-10-23 à 23:10  se trouve dans l'affirmation que \Large\Im\left(\sum\limits^{4k}_{\ell=0}e^{-i\frac{2\pi\ell^2}{4k+1}}\right)=0. La justification que tu donnes ne tient pas la route : elle "montrerait" qu'en fait la somme est nulle ! Réfléchis sur ce que tu as écrit !
Je rappelle ce que j'ai écrit plus haut :

GBZM @ 11-10-2023 à 09:53

On peut utiliser ici la question 3 (en particulier ce que je voudrais te voir dire sur |m_1-m_{-1}| et |m_i-m_{-i}| ) et l'expression du déterminant de U obtenue en question 1 (rappel : le déterminant est le produit des valeurs propres). Il est utile de regarder la parité de N(N-1)/2 suivant que N\equiv 1 \pmod4  ou N\equiv3\pmod4.

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 20-10-23 à 03:35

Salut GBZM, je n'ai pas su utiliser ta piste du 11-10-23 à 09:53.

Soit S_1 =  \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \sin\left(\dfrac{2\pi \ell^2}{4k + 1}\right) = \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \Im\left(e^{\frac{i 2\pi \ell^2}{4k + 1}}\right)

S_1 = - \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \sin\left(-\dfrac{2\pi \ell^2}{4k + 1}\right) = - \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \Im\left(e^{-\frac{i 2\pi \ell^2}{4k + 1}}\right) = - \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \Im\left(e^{\frac{i 2\pi \ell^2}{4k + 1}}\right)

S_1 = \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \Im\left(e^{\frac{i 2\pi \ell^2}{4k + 1}}\right) = - \sum\limits^{4k}_{\ell = 0} \Im\left(e^{\frac{i 2\pi \ell^2}{4k + 1}}\right)

S_1 = 0

6) On a \det(U) = N^{-\frac{N}{2}} i^{\frac{N(N - 1)}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right)

Et \det(U) = - m_1 \times m_{-1} \times m_i \times m_{-i}, \forall N impair.

Pour N = 3, on montre que \det(U) = \det(U_3) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 \det\left[\begin{pmatrix}
 \\ 1 & 1 & 1 \\
 \\ 1 & \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} \\
 \\ 1 & \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}
 \\ \end{pmatrix}\right]

\det(U) = -\dfrac{3 \sqrt{3}}{(\sqrt 3)^3}i = -i

Donc - m_1 \times m_{-1} \times m_i \times m_{-i} = - i

Or si N \equiv 1 [4] alors \dfrac{N(N - 1)}{2} est pair et si N \equiv 3 [4] alors \dfrac{N(N - 1)}{2} est impair.

Donc on a soit i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm 1 soit i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm i.

Posons K = N^{-\frac{N}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right)

On veut montrer que K prend les mêmes valeurs que \varepsilon.

Puisque \det(U) = -i, on a

Soit i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm i et K = \pm 1

Soit i^{\frac{N(N - 1)}{2}} = \pm 1 et K = \pm i

Comme \det(U) = -i, alors K et i^{\frac{N(N - 1)}{2}} sont de signe opposé donc  K \in \{\pm 1 ; \pm i\} et donc K \in \{1 ; i\}

On peut donc écrire que \det(U) = i^{\frac{N(N - 1)}{2}} \varepsilon avec \varepsilon = K = N^{-\frac{N}{2}} (-1)^{\frac{N(N - 1)}{2}} \prod\limits_{0 \le \ell < k \le N - 1} \left(2 \sin\left(\dfrac{\pi(k - \ell)}{N}\right)\right).

Si je n'écris pas n'importe quoi bien sûr.

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 20-10-23 à 07:32

Comment passes-tu de la première ligne de ton calcul à la deuxième ligne ? Pourquoi la somme des sinus devient l'opposé de la somme des sinus ?
Comment justifies-tu ton \det(U)=-m_1\times m_{-1}\times m_{i}\times m_{-i} ? C'est bien ça le produit des valeurs propres (1 avec multiplicité  m_1,  -1 avec multiplicité m_{-1},  i avec multiplicité m_i,  -i avec multiplicité m_{-i}) ?

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 20-10-23 à 08:26

1) \sin(-x) = - \sin(x)

2) On a plutôt \det(U)= m^{1}_1\times m^{-1}_{-1}\times m^{i}_{i}\times m^{-i}_{-i} = -i

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 21-10-23 à 16:53

Oui, mais l'entourlouupe est dans la dernière inégalité de la 2e ligne.
"On a plutôt" : ben non, c'est n'importe quoi.

Ce fil n'a que trop duré.

Rappelons que

\large \det(U)= N^{-N/2}\, (-1)^{N(N-1)/2} \,i^{N(N-1)/2} \prod_{0\leq \ell<k\leq N-1} (2\,\sin((k-\ell)\pi/N))\;. \quad(1)
On a vu que ou bien |m_1-m_{-1}|=1 et |m_i-{m_-i}|=0, ou bien |m_1-m_{-1}|=0 et |m_i-{m_-i}|=1.
On a vu aussi que m_1+m_{-1}=m_{i}+m_{-i}+1.
S est \sqrtN fois la somme des valeurs propres de U :  S=\sqrt{N}\,(m_1-m_{-1}+i(m_i-m_{-i}))=\epsilon\eta\sqrt{N}\epsilon=\pm1 et \eta\in\{1,i\}.
Le déterminant de U  est le produit de ses valeurs propres :

\large \det(U)= 1^{m_1}\times (-1)^ m_i=m_{-1}}\times i^{m_i}\times (-i)^{m_{-i}}=(-1)^{m_{-1}}\times i^{m_i-m_{-i}}\quad (2)
Tous les facteurs de \det(U) dans la formule (1) sont réels sauf i^{N(N-1)/2}.
Si N\equiv1\pmod4, alors N(N-1)/2 est pair, donc \det(U) est réel et m_i=m_{-i} d'après (2), donc S est réel et \eta=1.
Si N\equiv3\pmod4, alors N(N-1)/2 est impair, donc \det(U) est imaginaire pur et |m_i-m_{-i}|=1 d'après (2), donc S est imaginaire pur et \eta=i.

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 22-10-23 à 17:03

Bonjour GBZM

Au niveau de la deuxième équation, je n'ai pas compris la 2e égalité et au niveau de la 1ere égalité je suppose que c'est plûtot 1^{m_1} \times (-1)^{m_{-1}} non ?

Pour la question 7) on a M = \lfloor N/4 \rfloor et S=\sqrt{N}\,(m_1-m_{-1}+i(m_i-m_{-i}))=\epsilon\eta\sqrt{N}

Si N \equiv 1[4], alors M = \lfloor N/4 \rfloor = \left\lfloor \dfrac{4k + 1}{4} \right\rfloor = k et S = \sqrt{N} = (k + 1 - k + i(k - k))\sqrt N

Si N \equiv 3[4], alors M = \lfloor N/4 \rfloor = \left\lfloor \dfrac{4k + 3}{4} \right\rfloor = k et S = -i\sqrt{N} = (k + 1 - (k + 1) + i(k - (k + 1)))\sqrt N

Posté par
GBZM
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 22-10-23 à 17:14

Je corrige :

\large\det(U)=1^{m_1}\times(-1)^{m_{-1}}\times i^{m_i}\times(-i)^{m_{-i}}=(-1)^{m_{-1}}\times i^{m_i-m_{-i}}\quad(2)

Posté par
matheux14
re : Transformée de Fourier discrète (suite 1) 22-10-23 à 18:01

Merci beaucoup

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