Pas par les  méthodes demandées.
juste pour info.

Solutions de l'équation avec second membre = 0.

p²+2p+2=0

p = -1 +/- i

y = e^(-t)*(A.cos(t) + B.sin(t))
---
Solution particulière de l'équation avec second membre.

y = C.cos(2t)+D.sin(2t)
y' = -2C.sin(2t)+2D.cos(2t)
y'' = -4C.cos(2t)-4D.sin(2t)

y''+2y'+2y=cos(2t)

-4C.cos(2t)-4D.sin(2t) - 4C.sin(2t) + 4D.cos(2t) + 2C.cos(2t) + 2D.sin(2t) = cos(2t)
(-2C+4D).cos(2t) + (-2D - 4C).sin(2t) = cos(2t)

--> le système:
-2C + 4D = 1
-2D - 4C = 0

D = -2C
D = 1/5
C = -1/10

--> y = -(1/10).cos(2t) + (1/5).sin(2t)
---
Solutions générales de y'' + 2y' + 2y = cos(2t):

f(t) = e^(-t)*(A.cos(t) + B.sin(t)) - (1/10).cos(2t) + (1/5).sin(2t)

f(0) = A  - (1/10) = -1/10

A = 0

--> f(t) = e^(-t)*.B.sin(t) - (1/10).cos(2t) + (1/5).sin(2t)

f '(t) = -e^(-t)*.B.sin(t) + e^(-t).B.cos(t) + (2/10).sin(2t) + (2/5).cos(2t)

f '(0) = B + (2/5) = 0

B = -2/5

--> f(t) = -(2/5).e^(-t).sin(t) - (1/10).cos(2t) + (1/5).sin(2t)
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Sauf distraction.  

Pour le 1, je crois qu'il faut faire comme ça au début :

* f''(t) + 2f'(t) + 2f(t) = cos 2t
* f(0) = - 1/10 ; f'(0) = 0

* L[f''(t)] + 2L[f'(t)] + 2L[f(t)] = L[cos 2t]


Or, L[f(t)] = L(p) et L[cos wt] = p / (p^2 + w)


mais après je suis bloqué..

salut,

je crois que tu as aussi
L[f'(t)]=pL(p)
et L[f"(t)]=p²L(p)

Tu peux alors obtenir L(p)
Puis il faut réaliser la transformée inverse de Laplace pour retomber dans le domaine temporelle. Je crois qu'il te faudra décomposer en éléments simples puis aplpiquer les formules connues...

Sylv'

Justement ptitjean,

avec ta méthode, je crois que j'ai trouvé :

L[f(t)] = L(p)

On a : L[cos wt] = p / p^2 + w^2

f"(t) + 2f'(t) + 2f(t) = cos 2t
f'(0) = 0 et f(0) = - 1/10

Soit L(p) = L[f(t)]
L[f''(t)] + 2L[f'(t)] + 2L[f(t)] = L[cos 2t]
                                 = p / p^2 + 4 car L[cos wt] = p / p^2 + w^2
                                 = p / p^2 + 4

Or, L[f'(t)] = pL[f(t)] - f(0)
             = pL(p) - 1/10 car L[f(t)] = L(p) et f(0) = - 1/10

L[f''(t)] = p^2L[f(t)] - pf(0) - f'(0)
          = p^2L(p) - p(-1/10) car f(0) = -1/10 et f'(0)= 0
          = p^2L(p) + p/10

Donc : p^2L(p) + p/10 + 2(pL(p) - 1/10) + 2L(p) = p / p^2 + 4
       p^2L(p) + p/10 + 2pL(p) - 1/5 + 2L(p) = p / p^2 + 4
       L(p)(p^2 + 2p + 2) = (p / p^2 + 4) - (p/10) + 1/5
       L(p)(p^2 + 2p + 2) = (10p + (2-p)(p^2 + 4)) / (10(p^2 + 4)(p^2 + 2p + 2))

oui ca me semble juste

ensuite si mes souvenirs sont bons, il faut faire une décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle pour pouvoir alors revenir au domaine temporelle...

Toujours par rapport au 1), j'ai trouvé :



Est-ce que ce résultat est juste ? Est-ce que c'est simplifiable ? Si oui, comment faire ?
Ensuite, comment faire pour le 2) ?