j'oublie un detail de taille
avec k=racine(p/a)
ce qui conduit souvent à une fonction erf(x)...

Bonjour pita69,

quand tu écris (1+p/to) est-ce que cela veut dire ((1+p)/to) ou (1+(p/to)) ?
Qu'est-ce que x dans F(p) ? S'agit-il d'une fonction à deux variables : F(p,x), ?

1+p/to = 1+(p/to)

et oui F(p,x) a bien deux variable: en conduction instationnaire, il y a le temps et l'espace (1 dimmension ici)

merci pour ton aide.

OK, dans ce cas :
tu as écris "il ya pas mal de formules ... mais aucune ne convient car j'ai p+1/to au lieu de p-1/to."
Puisque tu as la formule qui conviendrait avec p+1/to, remplace (to) par (-to) dans cette formule et c'est bon pour p-1/to. Où est le problème ?

La transformée inverse que tu cherches est donnée par la formule n°43 dans la référence que tu as indiquée, avec le paramètre : gamma = -1/to

oui, c'est sur mais ça devient négatif sous la racine...
j'avais déja pensé, mais pas de chance
merci

Oui, bien évidemment, les fonctions exp et erfc passent dans leurs domaines complexe. Mais cela n'empèche pas le calcul.
J'ai fait quelques vérifications numériques avec Mathematica et les résultats sont biens réels (les parties imaginaires s'annulant) et sont satisfaisants : Avec la formule f(t) n°43 de la table et en remplacant gamma par -gamma, pour une valeur de p donnée,  l'intégration numérique de exp(-p.t)f(t)dt entre t=0 et t grand, redonne bien la même valeur que F(p]=exp(-qx)/(q(p+gamma)) avec q=(p/a)^(1/2)
En principe, la formule littérale de la transformée inverse pourrait être explicitée dans le domaine réel, puisque c'est possible pour exp(z) et pour erfc(z). Mais ce serait lourd, avec des fonctions sinusoïdales et des intégrales du genre Somme de exp(-x²)sin(c.x)dx
On ne peut pas savoir à-priori si des simplifications apparaitraient à la fin et conduiraient à une transformée inverse relativement simple. Ce serait, bien sûr, une tâche ardue pour en arriver là. Mais on ne peut pas affirmer que ce soit impossible.

Finalement, le résultat est :

Quelqu'un a-t-il fait la vérification ?