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Transformée en Z - Théorème du retard

Posté par
tragicjonsone
24-03-23 à 06:08

Bonjour, j'ai un peu de mal à comprendre le théorème du retard de mon cours. La correction d'un exercice me donne :

Signal n°1 : ​{x(n)=(n^2+2n)e(n)}, transformée en Z n°1 : {(Zx)(z)= {\large\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}}+2 \large \frac{z}{(z-1)^2}}

On applique : Si ​ {y(n)=x(n-n_0)e(n-n_0)} alors ​​{(Zy)(z)= {\large\frac{1}{z^{n_0}}}(Zx)(z)}, ici ​ ​​{x(n)=n} donc ​ ​​{x(n-1)=n-1} alors ​ ​​{(Zy)(z)= \large \frac{1}{z} \times \frac {z}{(z-1)^2}{\normalsize = } \frac{1}{(z-1)^2}}.

Même si j'ai bien compris la formule, j'ai beaucoup de mal à comprendre à partir de {x(n)=n}. Si une âme charitable veut bien partager de son temps pour me donner un petit coup de pouce, j'accepte avec plaisir. A bientôt

Posté par
Ulmiere
re : Transformée en Z - Théorème du retard 24-03-23 à 13:48

Je crois que ton énoncé est mal recopié.
Le théorème de retard que tu mentionnes dit que si x est une fonction causale discrète, la transformée en z de la retardée de r, donné par y(n) = x(n-r) est donnée par

z^r(Zy)(z) = z^r\sum_{n=0}^\infty y(n)z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty y(n)z^{r-n} = \sum_{n=0}^\infty x(n-r)z^{-(n-r)} = \sum_{m=-r}^\infty x(m)z^{-m} = \sum_{m=0}^\infty x(m)z^{-m} = (Zx)(z) parce que x(m) est nul pour m négatif.

A mon avis, la question était de calculer la transformée de la retardée de 1 de l'indicatrice de N. Ca donnera effectivement z^{-1}\times (Z1_\N)(z) = z^{-1}^2/(1-z^{-1})^2 = 1/(z-1)^2.

Par contre, la transformée de ton signal numéro 1 est fausse. Ce que tu as écrit, c'est X(s) avec s = z^{-1}. Partout où tu as des z, ce sont en fait des z^{-1}. Sauf si ton cours t'a défini l'opérateur Z autrement (comme série entière), bien sûr

Posté par
Ulmiere
re : Transformée en Z - Théorème du retard 24-03-23 à 13:52

Citation :
Ca donnera effectivement (Zy)(z) = z^{-1}\times (Z1_\N)(z) = z^{-1}\dfrac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} = \dfrac1{(z-1)^2}

Posté par
tragicjonsone
re : Transformée en Z - Théorème du retard 24-03-23 à 14:18

Ulmiere @ 24-03-2023 à 13:52

Citation :
Ca donnera effectivement (Zy)(z) = z^{-1}\times (Z1_\N)(z) = z^{-1}\dfrac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} = \dfrac1{(z-1)^2}


Bonjour Ulmiere,

Mea culpa ! Tu as effectivement raison, la résolution du signal 1 n'a rien à voir avec l'application, il n'y a même pas de retard sur ce dernier, je pense qu'à 6 heures du mat je devais pas avoir toute ma tête , et j'ai recopié le mauvais signal, désolé de t'avoir fait raisonner inutilement.


Voici le bon signal :

Signal n°2 : ​{y(n)=(n-1)e(n-1)}, transformée en Z n°2 : ​{(Zy)(z)= \large \frac{1}{(z-1)^2}}, j'ai vraiment du mal à saisir pourquoi la formule est de la forme {y(n)=x(n-n_0)e(n-n_0)} alors que le signal ici est de la forme {y(n)=(n-1)e(n-1)}.

Merci

Posté par
Ulmiere
re : Transformée en Z - Théorème du retard 24-03-23 à 23:49

Il s'agit simplement de prendre n0 = 1 et x = id dans ta formule de retard



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