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Z^(-1) c'est l'image réciproque par Z.
Ainsi écrire P(Z^(-1)(A)) c'est pareil que d'écrire P(Z appartient à A).
On a bien (réunion des Z^(-1) de ]-infini;n]) = (Z^(-1)(réunion des ]-infini;n]) = (Z^(-1)(R)) = (Oméga)
De plus Z^(-1) de ]-infini;n] est inclus dans Z^(-1) de ]-infini;n+1] puisque pour tout w de Oméga, dire que Z(w)
Or P(Oméga)=1 donc c'est fini!
Stokastik propose une autre méthode, très astucieuse.
Quant à la discussion à propos de la légitimité de la mienne, Stokastik n'a pas répondu mais je suis sûr à 99,9% qu'elle est correcte.
Tigweg, si on prend si m est pair et
sinon (donc v.a. presque surement constantes), ton critère est vérifié mais on n'a pas divergence vers l'infini non ?
robby3,
Ce que Tigweg dit est très simple mais peut-être que ça a l'air compliqué comme ça.
T'as une v.a. Z, alors tu sais que , c'est tout. Si tu veux considère la fonction de répartition F de Z alors
c'est un résultat général sur les fonctions de répartitions.
Mais non Stokastik!
Fixons M entier, et comptons les entiers m tels que :
il y en a une infinité (les entiers pairs), et ce pour tout choix de
Donc ici, et pas 0.
Bon je vais le démontrer ce critère, dis-moi ce que tu en penses:
Soit une suite de va et X une va telles que:
.
Pour tout il existe un ensemble mesurable
de mesure nulle à l'extérieur duquel tout
vérifie
Posons alors
Soit et soit
un entier.
On a donc
Ainsi en-dehors de
, c'est-à-dire p.s.
Pardon, y a pas de va X dans la démo (je voulais initialement démontrer le critère dans le cas où Xn->X pp)
Ok, tu me rassures!
Ce que j'avance est donc bien une caractérisation de la CV p.s.
MAis c'est marrant, je ne me souviens pas l'avoir jamais apprise.
En fait c'est robby qui m'avait mis la puce à l'oreille dans un topic précédent (le fameux que personne n'était arrivé à démontrer, même son prof) en examinant la convergence d'une certaine série.
Je m'étais demandé pourquoi et m'étais dit qu'avec Borel-Cantelli ça impliquait ce truc avec la limite sup.
Ce qui m'avait convaincu intuitivement.
A mon avis non, ce que tu écris semble plutôt équivaloir à N_m > l pp.
Pour que Xn->X (ou l si c'est constant) pp , je pense qu'il faut et qu'il suffit que
.
Ah pardon, j'avais mal compris ta relation.
A mon avis c'est faux quand même, elle équivaut à dire que Xn->l par valeurs supérieures.
Par conséquent la suite converge vers
pp mais elle ne répond pas à ton critère (il y a toujours une infinité de termes de la suite strictement inférieurs à l).
Attends est-ce encore moi qui délire... tu es sûr que ton exemple ne vérifie pas mon critère ?... lequel des 2 cas n'est pas vérifié (M<l ou M>l) ?
... je crois que tu parlais du 1er cas (M<l), mais pour il n'y a pas une infinité de termes inférieurs à M.
Re tout les deux!
dites moi,...vous pourriez me résumer ou m'expliquer votre conversation depuis 10:38 en fait....
si on a pour tout M,P(limsup N_m<M)=1
alors on a convergence presque sur?
c'est ça que Tigweg démontre non?
D'ou sort le message Stokastik de 12:54?
et pourquoi
Citation :
mon critère est équivalent à la convergence presque sûre ?
=>dixit Stokastik...?mon critère est équivalent à la convergence presque sûre ?
Désolé de vous poser les questions 4 heures aprés la bataille!
Salut robby!
Citation :
si on a pour tout M,P(limsup N_m
c'est ça que Tigweg démontre non?
si on a pour tout M,P(limsup N_m
c'est ça que Tigweg démontre non?
->Oui, c'est bon!
Citation :
D'ou sort le message Stokastik de 12:54?
et pourquoi
D'ou sort le message Stokastik de 12:54?
et pourquoi
->C'est juste un autre truc vrai mais qui ne te servira pas ici!
Mais il ne vaut que si la limite est ps constante.
Par contre j'arrive pas bien à lire la dernière question de ton énoncé, notamment s'il y a une puissance au-dessus de e;
pourrais-tu préciser?
Citation :
si on a pour tout M,P(limsup N_m<M)=1
alors on a convergence presque sur?
c'est ça que Tigweg démontre non?
si on a pour tout M,P(limsup N_m<M)=1
alors on a convergence presque sur?
c'est ça que Tigweg démontre non?
Noonnn... P(limsup N_m<M)=0
Robby...T'as pas du tout compris!
Il est parfaitement juste mon message de 10h38, c'est toi qui a écrit le contraire de moi en cherchant à le recopier...
Ah là là sacré robby, t'es impayable !
Citation :
si on a pour tout M,P(limsup N_m<M)=1
(moi)
si on a pour tout M,P(limsup N_m<M)=1
c'est vraiment différent?!
Désolé si j'ai rien pigé là!
Ben oui c'est l'opposé!
En fait (que c'est compliqué!!) je répondais à une objection de Stok qui pensait que ma formule était fausse alors qu'elle était juste!Je lui montrais que dans son "contre-exemple" (qui n'en est pas un!) la limsup valait 1 et pas 0 comme elle devrait valoir s'il y avait convergence presque sûre!
Et toi tu as interprété qu'il fallait que la limsup vaille 1 et pas 0...
Juste après je prouve que la limsup vaut 0 ssi il y a CV ps!
Lol je crois que je vais t'embrouiller encore plus, retiens juste que:
P(limsup(|Xn-X|>e)=0 pour tout e équivaut à Xn->X ps.
en fait je crois que j'ai saisi le machin!
Si je dis que Xn ne converge pas presque surement vers X <=> il existe un epsilon>0 tel que w soit dans A(epsilon)
ou A(epsilon)={w dans W/pour tout n,il existe un k>=n tel que |Xk(x)-X(w)|<= epsilon}
donc en prenant la négation de ce truc et en remarquant que A(epsilon)=lim sup({|Xk(w)-X(w)|<=epsilon})
on a ton résultat Tigweg.
C'est bien ça non?
Citation :
en fait je crois que j'ai saisi le machin!
en fait je crois que j'ai saisi le machin!
->Ouf!J'avais cru lire "ton" à la place de "le"!
En fait c'est presque ça.
Ce n'est pas en disant qu'il y a un tel w que tu nieras la CV ps, puisqu'un point est de mesure nulle.
En fait "ma" caractérisation est un peu plus forte, elle dit que si A(epsilon) est de mesure > 0 pour un certain epsilon, alors il n'y a pas CV ps (et réciproquement).
ok d'accord...bon là c'est plus clair!
j'ai une autre question qui n'a aucun rapport avec l'exercice...
on a avec les fonctions caractéristiques si X1,...,Xn sont des variables iid alors la fonction caractéristique de l
a somme est égal au produit des fonctions caractéristiques et il n'y a pas de réciproque...
et en fait je voulais savoir si avec les fonctions génératrices on avait la réciproque ou pas?
(donc avec les variables à densité)
Merci d'avance!
Qu'appelles-tu I?
De plus je ne comprends pas bien ta question...Quel lien y a-t-il entre fonction génératrice et variables à densité?
c'est pas I c'est le l de la
Citation :
Quel lien y a-t-il entre fonction génératrice et variables à densité?
Quel lien y a-t-il entre fonction génératrice et variables à densité?
>aucun,je dis simplement que les fonctions génératrices ça ressemble un peu aux fonctions caractéristiques...
et je voulais savoir si on avait "à peu prés les memes propriétés"?
mon message n'était pas clair?
Pas tellement robby!
Déjà je sais ce qu'est la fonction caractéristique d'un ensemble, mais d'une va?
Ca veut dire quoi?
En revanche oui, il est assez simple de démontrer que la fonction génératrice de la somme de deux va indépendantes est égale au produit des fonctions caractéristiques.
Je ne crois pas qu'il existe de réciproque, mais à vérifier!
Citation :
Déjà je sais ce qu'est la fonction caractéristique d'un ensemble, mais d'une va?
Ca veut dire quoi?
Déjà je sais ce qu'est la fonction caractéristique d'un ensemble, mais d'une va?
Ca veut dire quoi?
C'est la transformée de Fourier.
Donc en fait:
avec les variables discretes: on a des fonctions génératrices.
Avec ces fonctions génératrices,on a une propriété qui dit que si X1,...,Xn sont indépendnates (et de meme loi) la fonction génératrice de la variable "somme" est égale au produit des fonctions génératrices de chacun des variables.
là on a une réciproque:
dire que les Xi sont indépendantes <=> la fonction génératrice de la somme des Xi=produit des fonction génératrices des Xi
Avec les variables à densité,on a des fonctions caratcéristiques.
Avec ces fonctions caractéristiques,a t-on la réciproque?
si non pourquoi?
est ce plus clair?
Citation :
dire que les Xi sont indépendantes <=> la fonction génératrice de la somme des Xi=produit des fonction génératrices des Xi
dire que les Xi sont indépendantes <=> la fonction génératrice de la somme des Xi=produit des fonction génératrices des Xi
->Ah oui?Ok, je ne le savais pas!
Citation :
C'est la transformée de Fourier.
C'est la transformée de Fourier.
->Ok, c'est vrai ça me revient!
Je crois même que c'était un outil assez puissant!
Du coup je réalise qu'il s'agit sans doute de l'analogue des séries génératrices pour les va non discrètes, arrêtez-moi si je dis des bêtises.
Par contre, je ne saurais pas répondre à ta question robby, désolé, c'est trop loin pour moi...