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Triangle equilateral

Posté par
Yamato 18-01-12 à 23:53

Salut.

On pose j= -1/2 + i(sqrt(3)/2)

Soient A(a), B(b), C(c) 3 points non alignés non confondus.

Montrer que ABC est équilatéral ssi
a+bj+cj2 = 0

Merci de m'indiquer la voie à suivre.

Posté par
TontonManuelre : Triangle equilateral 18-01-12 à 23:58

Triangle équilatéral :
AB = BC = CA
et angle ABC = BCA = CAB =/3

Ecris ces égalités  sous forme complexes ...

Posté par
Yamatore : Triangle equilateral 19-01-12 à 00:33

|b-a| = |c-b| = |a-c|

arg((c-a)/(b-a)) = arg((c-b)/(a-b)) = arg((b-c)/(a-c)) = /3

Ensuite je ne vois pas trop...je pense que je dois écrire j sous forme expo et les arguments sous forme d'une rotation...je me trompe?

Posté par
cailloux Correcteurre : Triangle equilateral 19-01-12 à 01:20

Bonsoir,

Citation :
Montrer que ABC est équilatéral ssi a+bj+cj2=0


C' est faux:

ABC est équilatéral si et seulement si a+bj+cj^2=0 ou a+cj+bj^2=0

C' est à dire si et seulement si a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

Posté par
cailloux Correcteurre : Triangle equilateral 19-01-12 à 10:11

Soit à montrer que:

ABC équilatéral direct si et seulement si a+bj+cj^2=0

Préliminaires:

j=-\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e^{ i \,\frac{2\pi}{3}}

j^3=e^{i\,2\pi}=1

j^2=e^{i\,\frac{4\pi}{3}}=e^{-i\,\frac{2\pi}{3}}=\bar{j}=-\dfrac{1}{2}-i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}

-j^2=\dfrac{1}{2}+i\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e^{ i \,\frac{\pi}{3}}=j+1

----------------------

ABC\text{ equilateral direct }\Longleftrightarrow a-b=e^{ i\,\frac{\pi}{3}}(c-b) (en écrivant que A est l' image de C dans la rotation de centre B et d' angle \dfrac{\pi}{3})

ABC\text{ equilateral direct }\Longleftrightarrow a-b=-j^2(c-b)

ABC\text{ equilateral direct }\Longleftrightarrow a-b(1+j^2)+cj^2=0

ABC\text{ equilateral direct }\Longleftrightarrow a+bj+cj^2=0


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