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Tribu borélienne de R

Posté par
Fractal 07-04-07 à 20:23

Bonjour,
Comment peut-on montrer que la tribu borélienne de R est également la tribu engendrée par l'ensemble des intervalles de la forme ]a,b[ avec a et b deux réels?
Il me semble qu'il faut montrer que tout ouvert de R peut être considéré comme une union dénombrable d'intervalles, mais je ne vois pas comment procéder.

Merci d'avance.

Fractal

Posté par
ottore : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 20:59

Bonjour,
oui effectivement c'est ce que tu peux faire et en fait c'est (presque ?) trivial, puisque c'est presqu'ainsi que l'on construit les ouverts de R. (resp. R^n)
Si tu as un ensemble ouvert I, alors dès que tu te donnes un point x_0 dans I, tu peux trouver un boule B(x_0,r_0) qui est incluse dans ton ouvert I.

Si tu fais ca pour tout les points, alors tu remarques que I est l'union sur tous les boules de ce type, pour x_0 qui parcourt I.

Ainsi I est une union (non nécessairement dénombrable) d'intervalles ouverts (resp. boules ouvertes).

Comment passer de "indénombrable" à dénombrable?

[blank] pense à la séparabilité de R (resp. R^n)[/blank]

Posté par
ottore : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:00

oups, mon indice "blanké" ne l'est pas tant que ca

Posté par
infophilere : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:04

Salut Fractal et otto

otto > Le blanqué ne fonctionne que sur "expresso"

Posté par
ottore : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:08

Salut infophile.
C'est dommage, est ce que cela serait trop contraigneant pour le forum?
Ca permettrait autant que possible de ne juste donner des indices, comme dans ce cas précis
a+

Posté par
Fractalre : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:11

Bonjour
Merci de ta réponse

Est-ce que ma démo est correcte?


Soit U un ouvert de R.
Pour chaque rationnel q de U on associe le réel positif 3$\epsilon_q défini comme étant le plus grand réel tel que 3$B(q,\epsilon_q)\subset U.

Soit x un élément quelconque de U. U étant ouvert, il existe une boule ouverte B(x,e) incluse dans U.
Par densité de Q dans R, il existe un rationnel p dont la distance à x est strictement inférieure à e/2 donc cette distance est inférieure à 3$\epsilon_p par définition, ce qui signifie que 3$x\in ]p-\epsilon_p;p+\epsilon_p[.
On a donc 3$\Bigcup_{q\in\mathbb{Q}}]q-\epsilon_q;q+\epsilon_q[=U et Q est dénombrable, d'où le résultat.


Fractal

Posté par
Fractalre : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:13

-> otto
De toute façon, je suis trop curieux et j'aurais regardé le blanqué quand même (et puis j'aurais pas trouvé sans l'indice).

Fractal

Posté par
ottore : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:15

Ta démo est fausse en partant, parce qu'il n'existe pas de plus grand réel e_epsilon tel que tu le définis. (en général)

Cependant, si tu reprends exactement ma démo, et au lieu de prendre l'union sur tous les x_0, tu la prends sur les x_o de I \cap \mathbb{Q}, alors tu as le résultat voulu.
Le rayon de la boule n'importe pas, pour chaque x_0, il en existe un qui fonctionne, donc on se fiche de savoir ce que c'est.

a+

Posté par
stokastikre : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:22

Je me pose la question suivante :

Soit E un espace topologique et B une base de la topologie de E (i.e. B est un ensemble d'ouverts de E et tout ouvert de E est union d'élements de B).

La tribu borélienne est-elle engendrée par B ?

Cela est vrai si tout ouvert de E est union dénombrable d'éléments de B, en particulier si B est dénombrable.

Connait-on les espaces topologiques qui admettent une base B vérifiant cette propriété : tout ouvert de E est union dénombrable d'élements de B ?

Posté par
Fractalre : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:41

Ok, merci otto
Et pour montrer que c'est aussi la tribu engendrée par les intervalles de la forme 3$]-\infty;a[, est-ce qu'on peut dire que cette tribu contient aussi les intervalles de la forme 3$[b;-\infty[, donc également les intervalles bornés de la forme 3$[b;a[. Il suffit alors de reprendre ta démo, le fait que les intervalles soient semi-ouverts ne posant pas de problème.

-> stokastik : j'ai peut-être mal compris, mais R ne vérifie-t-il pas cette propriété d'après ce qui vient d'être dit?

Fractal

Posté par
ottore : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 21:47

En fait ca va être vrai au moins pour les espaces séparables, il suffit de reprendre exactement la même démonstration.

Pour ton problème fractale, c'est facile de voir que tout ensemble [b,+oo[ est le complémentaire de
]-oo,b[ et c'est donc terminé.

Posté par
stokastikre : Tribu borélienne de R 07-04-07 à 22:10

Citation :
-> stokastik : j'ai peut-être mal compris, mais R ne vérifie-t-il pas cette propriété d'après ce qui vient d'être dit
?

Bien sûr. C'est précisément ce que tu démontres avec B l'ensembles des intervalles ]a;b[.

Citation :

En fait ca va être vrai au moins pour les espaces séparables, il suffit de reprendre exactement la même démonstration.


C'est ce que je dis :

Citation :
Cela est vrai si tout ouvert de E est union dénombrable d'éléments de B, en particulier si B est dénombrable.


Je me demandais à quoi ça se généralisait.

Posté par
Fractalre : Tribu borélienne de R 08-04-07 à 00:01

Autre exercice sur le même sujet :
Montrer que 3$\cal{B}(\mathbb{R}^2)=\cal{B}(\mathbb{R})\otimes\cal{B}(\mathbb{R})

Voilà ce que j'ai fait :


On montre cette égalité par double inclusion.

Soit I un ouvert de R^2.
Tout rectangle ouvert de R^2 est un produit cartésien de boréliens de R. Or, pour la norme infinie, (toutes les normes de R^2 étant équivalentes) I est la réunion dénombrable de boules ouvertes (qui sont donc des rectangles) centrées sur les éléments de I\cap\mathbb{Q}^2 et incluses dans I, car I est ouvert et par densité de Q^2 dans R^2. On en déduit que I est union dénombrable de produits cartésiens de boréliens de R, donc 3$\cal{B}(\mathbb{R}^2)\subset\cal{B}(\mathbb{R})\otimes\cal{B}(\mathbb{R})

Soit U et V deux boréliens de R. U et V sont engendrés par l'ensemble des ouverts de R, donc leur produit cartésien est engendré par l'ensemble des produits cartésiens des ouverts de R. Il s'ensuite que UxV est engendré par les ouverts de R^2 donc 3$\cal{B}(\mathbb{R}^2)\supset\cal{B}(\mathbb{R})\otimes\cal{B}(\mathbb{R})

Par double inclusion, on en déduit l'égalité voulue.


Est-ce correct?
Merci

Fractal

Posté par
Fractalre : Tribu borélienne de R 09-04-07 à 11:15

Up, svp

Fractal

Posté par
stokastikre : Tribu borélienne de R 09-04-07 à 14:01

3$\cal{B}(\mathbb{R}^2)\supset\cal{B}(\mathbb{R})\otimes\cal{B}(\mathbb{R})
car \cal{B}(\mathbb{R})\otimes\cal{B}(\mathbb{R}) est par définition la plus petite tribu qui contient les pavés.


3$\cal{B}(\mathbb{R}^2)\subset\cal{B}(\mathbb{R})\otimes\cal{B}(\mathbb{R})
on peut dire plus directement qu'un ouvert U de R² est réunion des rectangles contenus dans U dont les sommets sont à coordonnées rationnelles, sans évoquer la norme infinie, il suffit de dire que toute boule ouverte pour la norme classique contient un rectangle, mais si tu veux utilise la norme infinie


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