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tribu engendrée

Posté par
fusionfroide 31-01-07 à 23:04

Salut

On considère :

**4$(S,T) un espace mesurable
**4$S^' un ensemble
**4$f:S->S^' une application

On définit 4$T_f=(A^'\in P(S^') / f^{-1}(A^') \in T^')

Alors

**4$T_f est une tribu sur 4$S^'
**4$T_f est la plus grande tribu sur 4$S^' tel que 4$f soit mesurable, on l'appelle la tribu engendrée par 4$f sur 4$S^'



Preuve :

*l'ensemble vide et 4$S^' appartiennent à 4$S^'

*4$A^' \in T_f i.e 4$f^{-1}(A^')\in T donc 4$compl(f^{-1}(A^'))\in T donc 4$f^{-1}(compl(A^')) donc 4$compl(A^') \in T_f

Je trouve ça bizarre : pourquoi a-t-on au début de la preuve 4$f^{-1}(A^')\in T alors que dans la définition de 4$T_f on a : 4$f^{-1}(A^')\in T^'

Merci pour votre aide précieuse !


PS : compl = complémentaire

Posté par
kaiser Moderateurre : tribu engendrée 31-01-07 à 23:09

re fusionfroide

Tout d'abord, il n'y a aucun T' qui est défini.
Ensuite, comme f va de S dans S', alors nécessairement, on doit avoir \Large{f^{-1}(A')} dans l'ensemble de départ donc...

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : tribu engendrée 31-01-07 à 23:15

Citation :
Tout d'abord, il n'y a aucun T' qui est défini.


Donc dans T_f se serait T et non T^' ou alors j'interpréte mal tes propos ?

Posté par
kaiser Moderateurre : tribu engendrée 31-01-07 à 23:17

c'est exactement ça !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : tribu engendrée 31-01-07 à 23:18

Ah d'accord !

Eh bien ça fait plaisir de comprendre ce machin avant d'aller me coucher !!

Merci encore

Posté par
kaiser Moderateurre : tribu engendrée 31-01-07 à 23:25

Mais je t'en prie !
et bonne nuit !

Posté par
fusionfroidere : tribu engendrée 31-01-07 à 23:35

Arf j'aurai une dernière question si ça ne t'ennuies pas !

On a 4$S et 4$S^' deux ensembles et 4$f:S->S^' une application

Soit 4$\Sigma^' \subset P(S^')

Alors \fbox{4$\sigma(f^{-1}(\Sigma^'))=f^{-1}(\sigma(\Sigma^'))}


Preuve :

\fbox{4$\subset}

4$\sigma(\Sigma^') tribu sur 4$S^' donc 4$f^{-1}(\sigma(\Sigma^')) est une tribu sur S qui contient 4$f^{-1}(\Sigma^')

Je ne comprends pas pourquoi elle contient 4$f^{-1}(\Sigma^')

Merci encore

PS : 4$\sigma(T) est la tribu engendrée par 4$T

Posté par
kaiser Moderateurre : tribu engendrée 31-01-07 à 23:39

Tout simplement parce que \Large{\Sigma '} est dans \Large{\sigma(\Sigma ')}.

Kaiser

Posté par Sigma_HX1_204 (invité)re : tribu engendrée 01-02-07 à 12:58

oui : \Sigma' \in \sigma(\Sigma'), car \sigma(\Sigma') est une tribu.


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