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Tribue Borélienne sur R^n (inclusions à démontrer)

Posté par Marc36 (invité) 24-10-07 à 15:52

Bonjour,
je me trouve devant un exercice sur les tribues.
Je possède B^n qui est definit ainsi :B^n := \sigma \(A \subset R^n \| ouvert\)
ainsi que


\xi ^n_1 := \{ B^r(x) \| boules ouvertes de rayon r \in Q_+ et de centre x \in Q^n \}


\xi ^n_2 := \{\(a,b\)^n \| a,b \in Q^n\}


\xi ^n_3 := \{\(a,b\]^n \| a,b\in Q^n \}


\xi ^n_4 := \{\(\ -\infty , b \] ^n \| b \in R^n}



il faut enfin demontrer les inclusions suivantes :

B^n \subset \sigma \xi ^n_1 \subset \sigma \xi ^n_2 \subset \sigma \xi ^n_3 \subset \sigma \xi ^n_4 \subset B^n


il y a donc 5 inclusions.
Voila ce que j'ai trouvé, mais je n'arive pas à rédiger correctement. Je me rends bien compte que ce n'est pas rigoureux (et surement faux)

Pour la première : R est séparable, donc R^n est séparable.
Donc pour tout ouvert O de R^n, il existe une suite denombrable de Points de Q formant des boules ouvertes dont l'union egale O.
La distance entre deux points de Q étant un , on peut prendre ces boules avec un rayon rationnel.

Pour la seconde :

Pour la troisième :

Pour la Quatrième :

Pour la dernière : Soit b \in R Alors, \( - \infty , b \]^n = (\bigcap)_(n \in N^*) \( - \infty , b + \frac{1}{n}) avec \( - \infty , b + \frac{1}{n}) \in R^n ouvert
d'où :  \xi ^n_4 \subset B^n

Posté par Marc36 (invité)re : Tribue Borélienne sur R^n (inclusions à démontrer) 24-10-07 à 16:09

peut-on dire pour \xi ^n_3 \subset \xi ^n_4 que
\( - \infty , b \), b \in R^n = \bigcup n \in N* \(a - \frac{1}{n} , a +\frac{n* \(b - a \)}{n+1} \)
j'ai un soucis car b est un rationnel dans \xi ^n_3 et un réel dans \xi ^n_4.


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