pour calculer sin(pi/5), je passerais par le calcul de cos(pi/5), en utilisant le fait que cos(2pi/5)+cos (3pi/5)=0, mais il y a peut-être plus simple
pour le second dériver et étudier les variations de la fonction

Bonjour

Pourquoi pas de Moivre avec cos(5.pi/5)+isin(5.pi/5) = -1+i0 = (cospi/5+isinpi/5)^5 en développant avec les coef du binome 1 5 10 10 5 1
et en identifiant la partie imaginaire nulle (cos²=1-sin²) ?

Philoux

je me suis un peu embrouillé, mais pour calculer sin(pi/5) le plus simple est de remarquer que pi/2-pi/5=3pi/10 , donc en posant a=pi/10, sin2a=cos3a soit
2sinacosa=4cosa^3-3cosa=cosa(4(1-sina^2)-3)=cosa(1-4sina^2)
on peut simplifier par cosa donc 4sina^2+2sina-1=0
En posant x=2sina, x^2+x-1=0 (tiens, il y a du nombre d'or pas loin!)
donc sina=(rac(5)-1)/4 d'où cosa et donc sin(pi/5)...
On retrouve la construction classique du pentagone: sur un cercle de centre O, soit un diamètre, le point A milieu du demi-cercle, et B le milieu du rayon sur le diamètre (donc OB=OA/2 et OA perpendiculaire à OB). Si le cercle de centre B de rayon BA recoupe le diamètre en C, AC sera la longueur du coté du pentagone inscrit dans le cercle, soit 2sin(pi/5) si le rayon est l'unité