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trigo + hauteur

Posté par
ludivew 06-08-16 à 20:57

Bonjour
Voila j'ai un sujet et je vois du tout comment partir.

Calculer les hauteurs d'un triangle connaissant le rayon R du cercle circonscrit, la hauteur h relative au côté a, et sachant, de plus que b+c=2a.


Je ne vois pas comment faire le lien avec les données.
Merci de votre aide.

Posté par
medomarre : trigo + hauteur 06-08-16 à 21:04

veuillez précisez les nombres b et c signifie quoi exactement ???
vos donnés ne sont pas suffisante
de préférence de montrer l'énoncé tel qu'il est

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 06-08-16 à 21:10

Voila le problème c'est que l'énoncé est composé que de ça.
Je pars du principe que ABC est un triangle.
AC=b
AB=c
BC=a
h est la hauteur issue de A.

Oh pardon, on doit donne un ''super'' conseil pour nous aider : b+c=2a ne signifie pas que vous connaissez b et c, mais simplement la somme b+c. hum c'est tout de suite plus clair ! ou pas.

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 06-08-16 à 21:13

Étant dans le chapitre trigonométrique j'ai essayé de jouer avec sinus.
je pose h1 hauteur issue de B et h2 hauteur issue de C.

Avec ces trois hauteurs, j'ai plusieurs triangle rect et donc on aurait :

sin C = h/b  = h1/a  -> h1=ah/b
sin B = h/c = h2/a   -> h2 = ah/c

voila bien et après je vois pas trop quoi en faire .

Posté par Profil amethystere : trigo + hauteur 06-08-16 à 22:52

bonsoir

je recite

Citation :
Calculer les hauteurs d'un triangle connaissant le rayon R du cercle circonscrit, la hauteur h relative au côté a, et sachant, de plus que b+c=2a.


dans cet exo on dispose de pas mal de données et on notera h_a la hauteur relative au coté a et celle-ci est connue

bon on demande les autres hauteursh_b  et  h_c relatives respectivement aux cotés b et c

par ailleurs on dispose de la donnée R le rayon du cercle circonscrit

enfin b+c=2a

____________________

la premiere chose à faire c'est de rappeler les quatre théorèmes continentaux

premier théorême : on notera A l'aire du triangle

alors A=\frac {1}{2}.a.h_a

deuxième théorême

on notera

s=\frac {a+b+c}{2} donc si b+c=2a alors s=\frac {3a}{2}

et on posera t=s(s-a)(s-b)(s-c)

selon ce  deuxieme théorême

h_a=\frac {2}{a}.\sqrt {t}  cette hauteur là  est déjà donnée

h_b=\frac {2}{b}.\sqrt {t} hauteur que l'on recherche

h_c=\frac {2}{c}.\sqrt {t} hauteur que l'on recherche

et selon le  troisieme théorème continental

en notant A l'aire du triangle alors

A^2=t  

selon le  quatrieme theoreme alors

je ne dirai rien mais je te laisse deviner sur cette image là

et sur cette image on connait donc la longueur de l'hypothénuse BD et qui vaut 2 fois le rayon R (or R est connu)

trigo + hauteur

Posté par Profil amethystere : trigo + hauteur 07-08-16 à 03:53

NB

ce sont des théorèmes de Héron d'Alexandrie (1er siècle) mais je suis pas sûr pour le quatrième ...désolé si je les ai appelés comme ça  

bon sinon il est utile ici car c'est celui là qui te permet d'utiliser le paramètre R que l'on te donne

il s"écrit ainsi :

Soit un système de points affinements indépendants A,B,C et R le rayon du cercle circonscrit à ce système et un point D\neq C tel que d'une part ABD est un système de points affinements indépendants et tels que A,B,C,D soient cocycliques

ALORS on obtiens que la phrase ci dessous est vraie

(  BD=2R    )\Leftrightarrow (   (\hat {ACB}=\hat {ADB})   \mtext {  AND     (ABD  est    droit   en    A) }   )

XOR

(  AD=2R    )\Leftrightarrow (  (\hat {ACB}=\hat {ADB})   \mtext {  AND    ( ABD   est    droit  en    B) }   )

on le voit à l'image ci-dessous

trigo + hauteur

Posté par Profil amethystere : trigo + hauteur 07-08-16 à 14:54

il semblerai qu'il y ai contestation du dernier (voir post precedent)  sur les mathematiques.net

voir ici sur les math .net ->

l'ayant trouvé cette nuit sur youtube  mais je n'ai pas eu le temps de le verifier formellement

(si jamais je me suis planté je  suis désolé )

Posté par
verdurinre : trigo + hauteur 07-08-16 à 15:14

Bonjour.
Disons qu'ici il suffit d'utiliser le théorème disant que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit.
On trouve alors

R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{b}{2\sin B}=\dfrac{c}{2\sin C}

Posté par Profil amethystere : trigo + hauteur 07-08-16 à 15:32

merci Verdurin et mes excuses

je vais voir chez moi car là sinon je vais faire du hors sujet
je vais faire en sorte de le re écrire en me débarrassant (c'est faisable) de la notion d'angle (orienté ou géo) dans ce pseudo théorème que j'ai mal écrit et de ce que j'en ai compris sur youtube

si je le re écrit en ne parlant pas d'angles c'est encore mieux (car la demo si elle fonctionne n'en utilisera pas mais uniquement du produit scalaire canonique dans R^2 et se verifiera ou non avec une égalité d'equations utilisant ce produit)

Posté par
verdurinre : trigo + hauteur 07-08-16 à 23:01

Bonne nuit amethyste.

Je ne vois pas pourquoi tu t'excuses.

J'ai recherché le nom du théorème que je citai : c'est le théorème de l'arc capable.

Sinon, on ne peut pas éviter de parler d'angles, et c'est une notion vraiment délicate.

Posté par Profil amethystere : trigo + hauteur 07-08-16 à 23:18

Bonne nuit Camarade Verdurin

en fait si je l'ai bien compris de se que j'en ai vu sur le youtube (là je suis en train de le verifier)

je le retraduit comme ça c'est comme si la géométrie n'existerai plus  

et là les angles ont disparus

  Dans le plan R^2 on note <...|...> le produit scalaire canonique  
Soit un système de points affinements indépendants A,B,C et R le rayon du cercle circonscrit à ce système et un point D\neq C tel que d'une part ABD est un système de points affinements indépendants et tels que A,B,C,D soient cocycliques

ALORS on obtiens que la phrase ci dessous est vraie

(  BD=2R    )\Leftrightarrow

(   (   \dfrac {\langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle  }{\sqrt { \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {CB} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle   }}=\dfrac {\langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle  }{\sqrt { \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {DB} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle   }}  )   \\  \\  \mbox  {  AND    } ( \sqrt {\dfrac { \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CA}   \rangle  . \langle  \overrightarrow {CB} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle   - \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle  ^2}{  \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {CB} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle     }  } = \sqrt {\dfrac { \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DA}   \rangle  . \langle  \overrightarrow {DB} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle   - \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle  ^2}{  \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {DB} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle     }  }   )     \mbox  {  AND}
(   \langle  \overrightarrow {AB} \mid  \langle  \overrightarrow {AD}   \rangle =0  )   )

XOR

(  AD=2R    )\Leftrightarrow

(   (   \frac {\langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle  }{\sqrt { \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {CB} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle   }}=\frac {\langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle  }{\sqrt { \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {DB} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle   }}  )       \mbox  {  AND    }  \\ \\( \sqrt {\frac { \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CA}   \rangle  . \langle  \overrightarrow {CB} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle   - \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle  ^2}{  \langle  \overrightarrow {CA} \mid   \overrightarrow {CA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {CB} \mid   \overrightarrow {CB}   \rangle     }  } = \sqrt {\frac { \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DA}   \rangle  . \langle  \overrightarrow {DB} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle   - \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle  ^2}{  \langle  \overrightarrow {DA} \mid   \overrightarrow {DA}   \rangle . \langle  \overrightarrow {DB} \mid   \overrightarrow {DB}   \rangle     }  }     )     \mbox  {  AND}
(   \langle  \overrightarrow {BA} \mid  \langle  \overrightarrow {BD}   \rangle =0      )   )

malou > ***texte remis en forme pour le rendre lisible
utiliser plutôt \dfrac et couper les lignes de Ltx pour qu'elles soient moins longues et donc lisibles***

Posté par
verdurinre : trigo + hauteur 07-08-16 à 23:48

Il y a un point que tu négliges :
le produit scalaire permet d'obtenir des angles sans orientation, en fait il permet d'avoir le cosinus d'un angle.
Or cos(a)=cos(-a). Le produit scalaire ne permet pas de définir des angles orientés, et donc ne permet pas de définir les rotations.

De fait on ne peut pas se passer des angles orientés entre vecteurs.

Après on pourrait se passer de notions du genre « angles orientés de droites » ou « angles géométrique » ou « angles de droites » mais, compte tenu de l'histoire, c'est assez difficile. Et ça conduirait à des notations très lourdes.

Posté par Profil amethystere : trigo + hauteur 08-08-16 à 00:03

c'est vrai effectivement!  mais là je pense à cette phrase  

(je fais  un peu hors sujet et c'est de ça que je m'excuse)

là ce que je regarde c'est "ma re traduction prise telle qu'elle"

puis je verrai ces problèmes d'angles orientés mais pas avant de voir si cette phrase écrite telle je la demontre ou pas

si je la demontre : je regarde plus loin ,j'essaye de m'en servir pour traiter le problème  concernant l'orientation des angles   en rajoutant ce qui manque

si elle est fausse  ...  

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 08-08-16 à 10:03

Merci de vos réponses.
amethyste je préfère tes ''4 théorèmes'' car je ne pense qu'il faut utiliser le produit scalaire.  Le devoir est tiré dans dossier trigonométrie,
verdurin merci pour ta formule mais je suppose que je dois combiner avec ce qu'il y avait déjà plus haut.
je vais travailler avec vos aides et voir si je m'en sors.

encore merci

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 08-08-16 à 10:10

enfete on utilise la loi des sinus

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 08-08-16 à 11:06

Bon finalement je ne vois toujours pas :/
je résume les idées.
S = \frac{1}{2}ah_a  -> S = aire du triangle.
de même on a S = \frac{1}{2} bh_b et S = \frac{1}{2} ch_c

Puis la loi des sinus nous donne :
2R = \frac{a}{sin A}= \frac{b}{sin B}= \frac{c}{sin C} = \frac{abc}{2S}
avec S =\sqrt{  p(p-a)(p-b)(p-c)} où p est le demi périmètre du triangle p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3a}{2}

Pour moi le but s'est d'écrire h_b et h_cen fonction de R et de h_a
mais jusqu'à présent je n'ai obtenue que :
S = \frac{abc}{4R} et donc h_b = \frac{ac}{2R} et  h_c = \frac{ab}{2R}

Voila j'en suis, après je n'arrive plus à voir comment faire intervenir vos idées en poursuivant de ce point.

Merci de votre aide

Posté par
veledare : trigo + hauteur 09-08-16 à 12:00

bonjour,
en utilisant  les expressions que tu as pour h_b et h_c
h_bh_c=a^2\frac{h_a}{2R} \\ h_b+h_c=a\frac{b+c}{2R}=\frac{a^2}{R}
il reste à calculer a² pour connaitre la somme et le produit  des deux hauteurs cherchées

( on sait que a^2=b^2+c^2-2bc cosA)

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 09-08-16 à 14:43

Merci mais je vois pas comment finir tout de même avec ceci.

Posté par
Razesre : trigo + hauteur 10-08-16 à 00:19

Soit le triangle (il vaut mieux faire le dessin) ayant pour cotés opposés a,b,c et angles respectivement A,B,C et hauteurs h_a, h_b, h_c.

Nous avons la relation (1): \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R

Calculons h_a, nous avons aussi:
\sin B=\dfrac{h_a}{c} , de (1) nous tirons la relation \dfrac{b}{\sin B}=2R,  d'où h_a=\dfrac{bc}{2R}

De la même façon:  h_b=\dfrac{ac}{2R} et  h_c=\dfrac{ab}{2R}

Posté par
Razesre : trigo + hauteur 10-08-16 à 01:56

\left\{\begin{matrix}h_bh_c=a^2\frac{h_a}{2R}\\ h_b+h_c=a\frac{b+c}{2R}=\frac{a^2}{R}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}h_bh_c=a^2\frac{h_a}{2R}\\ h_b+h_c=\frac{a^2}{R}\\\left (h_b+h_c\right )^2-2h_bh_c=\left (\frac{a^2}{R}\right )^2-2a^2\frac{h_a}{2R}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}h_b+h_c=\frac{a^2}{R}\\\left (h_b-h_c\right )^2=\frac{a^4}{R^2} -\frac{a^2h_a}{R}\end{matrix}\right.

\Rightarrow\left\{\begin{matrix}h_b+h_c=\frac{a^2}{R}\\h_b-h_c=\pm \sqrt{\frac{a^4}{R^2} -\frac{a^2h_a}{R}}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}h_b=\frac{1}{2}\left (\frac{a^2}{R}\pm \sqrt{\frac{a^4}{R^2} -\frac{a^2h_a}{R}} \right )\\h_c=\frac{1}{2}\left (\frac{a^2}{R}\mp \sqrt{\frac{a^4}{R^2} -\frac{a^2h_a}{R}}  \right )\end{matrix}\right.

Ou plus simplement  h_b et h_c sont les racines de l'équation du second degré en x: x^2+\left (h_b+h_c  \right )x+h_bh_c=0\Leftrightarrow x^2+\frac{a^2}{R}x+\frac{a^2h_a}{2R}=0

Posté par
veledare : trigo + hauteur 10-08-16 à 07:52

bonjour,
>>Razes
petite erreur de signe
x²-(hb+hc)x+hbhc=0

*il doit y avoir une autre methode car les calculs ne sont pas très sympathiques
*pour trouver a²  j'ai écrit que cos²A+sin²A=1

Posté par
verdurinre : trigo + hauteur 10-08-16 à 14:37

Il y a en effet une méthode simple pour déterminer les côtés du triangle.
Il suffit d'utiliser

\\ (1)       \frac12 a h_a =\frac14\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a+(b-c))(a-(b-c))} \\ \\ (2)      (b-c)^2=(b+c)^2-4bc \\ \\ (3)       bc=2Rh_a

Et on trouve a en fonction de R et h_a

Je ne comprend pas pourquoi chercher les hauteurs, ce n'est pas une caractérisation usuelle pour les triangles.

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 10-08-16 à 14:55

Merci Raze
par contre pourrais tu m'expliquer le passage du 2eme système au 3eme.

comment (h_b-h_c)² apparaît ?

Merci encore à tous !!

Posté par
veledare : trigo + hauteur 10-08-16 à 15:50

>>Verdurin  bonjour,
trouver a   en fonction de R et ha  n'est pas compliqué      m ais  il faut bien ensuite  donner les expressions de  h b  et hc qui sont solutions de
  x^2-\frac{a^2}{R}x+\frac{a^2}{R}.\frac{h_a}{2}=0
avec
a^2=\frac{4}{9}.h_a(6R-h_a)  si je n'ai pas fait d'erreur de calcul
et là je manque  de courage

Posté par
verdurinre : trigo + hauteur 10-08-16 à 17:57

Salut veleda.

Si tu as fait une erreur de calcul pour a, j'ai fait la même.

Posté par
ludivewre : trigo + hauteur 10-08-16 à 20:27

veleda @ 10-08-2016 à 15:50

>>Verdurin  bonjour,
trouver a   en fonction de R et ha  n'est pas compliqué      m ais  il faut bien ensuite  donner les expressions de  h b  et hc qui sont solutions de
  x^2-\frac{a^2}{R}x+\frac{a^2}{R}.\frac{h_a}{2}=0
avec
a^2=\frac{4}{9}.h_a(6R-h_a)  si je n'ai pas fait d'erreur de calcul
et là je manque  de courage


Pourrez t'on alors me donner a en fonction de h_a et R !!!
Je veux bien que h_b et h_c soient solutions de x^2-\frac{a^2}{R}x+\frac{a^2}{R}.\frac{h_a}{2}=0
le problème est que je ne vois pas comment il a été obtenu.....

Posté par
Razesre : trigo + hauteur 10-08-16 à 20:45

ludivew @ 10-08-2016 à 14:55

Merci Raze
par contre pourrais tu m'expliquer le passage du 2eme système au 3eme.

comment (h_b-h_c)² apparaît ?

Merci encore à tous !!

Une erreur dans mes calculs:
\left\{\begin{matrix}h_bh_c=a^2\frac{h_a}{2R}\\ h_b+h_c=a\frac{b+c}{2R}=\frac{a^2}{R}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}h_bh_c=a^2\frac{h_a}{2R}\\ h_b+h_c=\frac{a^2}{R}\\\left (h_b+h_c\right )^2-4h_bh_c=\left (\frac{a^2}{R}\right )^2-4a^2\frac{h_a}{2R}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}h_b+h_c=\frac{a^2}{R}\\\left (h_b-h_c\right )^2=\frac{a^4}{R^2} -2\frac{a^2h_a}{R}\end{matrix}\right.

\Rightarrow\left\{\begin{matrix}h_b+h_c=\frac{a^2}{R}\\h_b-h_c=\pm \sqrt{\frac{a^4}{R^2} -2\frac{a^2h_a}{R}}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}h_b=\frac{1}{2}\left (\frac{a^2}{R}\pm \sqrt{\frac{a^4}{R^2} -2\frac{a^2h_a}{R}} \right )\\h_c=\frac{1}{2}\left (\frac{a^2}{R}\mp \sqrt{\frac{a^4}{R^2} -2\frac{a^2h_a}{R}}  \right )\end{matrix}\right.

Ou plus simplement  h_b et h_c sont les racines de l'équation du second degré en x: x^2-\left (h_b+h_c\right )x+h_bh_c=0\Leftrightarrow x^2+\frac{a^2}{R}x+\frac{a^2h_a}{2R}=0 Erreur vu aussi par  veleda (merci).

(x+y)^2-4xy=(x-y)^2 identités remarquables

Posté par
verdurinre : trigo + hauteur 10-08-16 à 21:46

Pour déterminer a

\frac12 a h_a =\frac14\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a+(b-c))(a-(b-c))} \\ \phantom{\frac12 a h_a }=\frac14\sqrt{3a\cdot a (a+(b-c))(a-(b-c))} \text{ car } b+c=2a

en simplifiant par a puis en élevant au carré

h_a^2=\frac34 \bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)=\frac34 \bigl(a^2-(b+c)^2+4bc\bigr)

Comme b+c=2a et bc=2Rh_a il vient

h_a^2=\frac34(-3a^2+8Rh_a)

puis le résultat donné par veleda :

a^2=\frac49(6Rh_a-h_a^2)

Posté par
veledare : trigo + hauteur 10-08-16 à 22:55

pour trouver a²
on peut aussi utiliser
sinA=\frac{a}{2R} \\ et \\ 2bccosA=b^2+c^2-a^2=3a^2-2bc
d'où   cosA=...

et ensuite  écrire que cos^2A+sin^2A=1


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