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trigo hyperbolique

Posté par
Poyopoyo 25-09-10 à 15:44

Salut tout le monde, je cherche à résoudre l'exo suivant :

Arctan(sh(x)) = Arcos(\frac{1}{ch(x)})

il faut que je démontre cette proposition de deux manières différentes. Vous avez une idée ?

Sachant que je suis parti sur une piste : calculer la tangeante des deux

Posté par
Camélia Correcteurre : trigo hyperbolique 25-09-10 à 15:47

Bonjour

Une bonne méthode pour ce genre de trucs est de montrer que la dérivée de la différence des deux membres est nulle. Ca prouve que la différence est une constante et il suffit de vérifier que ça vaut 0 pour un x bien choisi (ici x=0)

Posté par
Poyopoyore 25-09-10 à 15:49

ah génial ! je teste ça tt de suite !

Posté par
Poyopoyore : trigo hyperbolique 25-09-10 à 16:29

j'arrive pas à démontrer

Posté par
Camélia Correcteurre : trigo hyperbolique 25-09-10 à 16:46

En effet il y a un os! D'ailleurs le premier membre de ton équation est une fonction impaire et le second est une fonction paire...

Voilà ce que je trouve:

(arctan(sh(x))'=\frac{ch(x)}{1+sh^2(x)}=\frac{1}{ch(x)}

\(arccos\(\frac{1}{ch(x)}\)\)^'=-\sqrt{1-\frac{1}{ch^2(x)}}\times \frac{-sh(x)}{ch^2(x)}=\sqrt{\frac{ch^2(x)-1}{ch^2(x)}}\times \frac{th(x)}{ch(x)}=\sqrt{th^2(x)}\times \frac{th(x)}{ch(x)}

... et les th n'ont pas l'air de se simplifier... mais je peux me tromper!

Posté par
Poyopoyore : trigo hyperbolique 25-09-10 à 16:50

ok merci d'avoir testé aussi !

je trouve la même chose que toi, j'ai essayé en passant ensuite par la forme exponentielle, mais rien non plus :'(

Posté par
Camélia Correcteurre : trigo hyperbolique 25-09-10 à 16:52

Non, mais l'argument de parité montre que c'est forcément faux...

Posté par
Poyopoyore : trigo hyperbolique 25-09-10 à 17:32

on peut peut-être s'intéresser au cas où x > 0 ?

Posté par
Camélia Correcteurre : trigo hyperbolique 25-09-10 à 18:08

Vu les dérivations, j'en doute...

Posté par
Poyopoyore : trigo hyperbolique 25-09-10 à 18:43

pour x > 0 ça marche !

je viens de tester en faisant une autre technique : je fais la tangeante des deux termes de l'égalité

Posté par
Poyopoyore : trigo hyperbolique 26-09-10 à 11:28

sans vouloir te contredire, je trouve une dérivée différente pour \(arccos\(\frac{1}{ch(x)}\)\)

je trouve \(arccos\(\frac{1}{ch(x)}\)\)^' = (\frac{sh(x)}{ch^2(x)})(\frac{-1}{\sqrt{1-ch^2(x)}})

Posté par
Poyopoyore : trigo hyperbolique 26-09-10 à 11:49

petite rectification :

\(arccos\(\frac{1}{ch(x)}\)\)^' = (\frac{sh(x)}{ch^2(x)})(\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{ch^2(x)}}})

Posté par
Camélia Correcteurre : trigo hyperbolique 26-09-10 à 15:02

Mais bon sang, c'est bien sur... (presque, il y a bien un moins devant le sh car (1/x)'=-1/x^2 maintenant tout va bien! Même le problème de la parité, parce que la racine donnera une valeur absolue! L'égalité est vraie pour x > 0.


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