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Trigonalisation et questions.
Bonjour,
Je me posais une question, pour les matrices 3x3 la trigonalisation est plutôt rapide grâce au calcul du polynôme caractéristique qui se fait facilement par la règle de Sarrus.
Mais je voulais savoir comment trouver efficacement un polynôme caractéristique pour les matrices 4x4 ?
Je voulais savoir aussi, en présentant un exemple : On a notre polynôme caractéristique scindé, avec par exemple (x-1)²(x-2)² On sait que E1 et E2 sont inclus respectivement dans C1 et C2.
Donc notre base a la fin sera du genre B = { Vect associé à C1, Vect associé à E1, Vect associé à C2, Vect associé à E2}
Pourtant c'est bien le Vect E1 inclus dans le Vect de C1 alors pourquoi dans la base on doit échangé les sens ? J'ai fait cette remarque hier, et je me demande donc pourquoi c'est comme ça :p
Une dernière question, une fois qu'on a notre base, donc on a notre matrice de passage, mais pour trigonaliser notre matrice de base on est obligé de faire pour trouver la forme triangulaire ou on peut faire autre chose juste en partant de la matrice de passage ?
Car dans un exercice, inverser P et ensuite faire peut être long... et sans calculette, pour les matrices 4x4 c'est très fréquent de faire une petite faute.
Voila merci 
Bonjour
1) même pour les 3*3, Sarrus, ce n'est pas la panacée : il vaut mieux chercher à faire des combinaisons de lignes et/ou de colonnes afin de mettre des trucs en facteur dans le polynôme caractéristique (par exemple, regarder si la somme de toutes les lignes ou de toutes les colonnes ne donnerait pas par hasard un terme en (1-X) partout, qui du coup pourra être mis en facteur : c'est en particulier le cas dans les problèmes issus de probabilités, puisque la somme des probas doit donner 1....) avec juste
2)l'ordre des vecteurs dans la base est lié à l'allure qu'on veut avoir pour la matrice : si tu la veux triangulaire supérieure, le premier vecteur d'un "pavé' doit être un vecteur propre pour qu'on n'ait un terme non nul que sur la diagonale, dans sa colonne.
la matrice triangulaire, tu la connais dès que tu sais comment tu as choisis tes vecteurs : si tu as ,
,
et
, la matrice T sera
(choisir les vecteurs comme tu l'as fait conduit à des relations de ce genre...)
après, si tu trigonalises pour autre chose qu'un exercice destiné à savoir si tu sais trigonaliser, la matrice de passage et son inverse, tu risques d'en avoir besoin de toutes façons. J'espère que tu n'inverses pas tes matrices avec la transposée de la comatrice ? parce que pour avoir des erreurs de calculs c'est la meilleure des méthodes (sans compter qu'elle est totalement inefficace du point de vue du nombre d'opérations élémentaires nécessaires, dès quen la dimension dépasse 2 !)
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