Niveau Maths sup

Trigonomètrie

Posté par
el_chamo 04-09-10 à 13:01

Bonjour à tous, je planche depuis quelques heures sur quelques exo et on peut dire que la rentrée est plus que laborieuse pour réactiver les réflexes en math...

Je bloque sur des équations à résoudre dans l'interval ] - , ]

a) cos (x) + cos (2x) + cos (3x) = 0

Je vous passe les détails de mes calculs et je tombe sur :

4 cos ³(x) + 2 cos ² (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Et là je sais pas comment avancer plus loin :/

b) cos (2x) + cos (x) = -1

2 cos ² (x) - 1 + cos (x) = -1

2 cos ² (x) + cos (x) = 0

De même, je ne sais plus quoi faire à partir de là :/

Merci d'avance pour votre aide, je reviendrai vers 15h.

Posté par re : Trigonomètrie 04-09-10 à 13:20

Salut

pour la a) je te conseille plutôt de dire que:

cos (x) + cos (2x) + cos (3x) = Re( exp(ix)+exp(2ix)+exp(3ix) ) = Re( exp(ix)(1+exp(ix)+exp(2ix)) )

et 1+exp(ix)+exp(2ix) = (1-exp(3ix))/(1-exp(ix)) (somme géométrique)

tu factorises au numérateur par exp(i3x/2) puis utilise les formules d'euler
tu factorises au dénominateur par exp(ix/2) et puis utilise les formule d'euler

et je te laisse terminer ...

pour la b), pose cos(x) = X et là tu auras une équation du deuxième degré à résoudre ..

(on pouvait bien faire de même pour le a), mais l'éqution est un peu plus difficile à résoudre ..)

A toi

Posté par re : Trigonomètrie 04-09-10 à 13:33

a) tu peux vérifier que 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1 = 2 x² (2 x + 1) - (2 x + 1) = = (2 x² - 1) ( 2 x + 1) = (2 x + 1) (2 x - racine(2)) (2 x + racine(2))
ensuite tu remplaces x par cos x et tu as une équation plus simple que tu peux résoudre

b) 2 x² + x = x (2 x + 1) donc 2 cos ² (x) + cos (x) = 0 est équivalent à cos x (2 cos x + 1) = 0

Posté par re : Trigonomètrie 04-09-10 à 13:36

Bonjour

On a la factorisation $4\cos^3(x)+2\cos^2(x)-2\cos(x)-1 = (2\cos(x)+1)(2\cos^2(x)-1) = (2\cos(x)+1)(\sqrt{2}\cos(x)-1))(\sqrt{2}\cos(x)+1)$ ...

Posté par re : Trigonomètrie 04-09-10 à 13:44

Merci pour votre aide ^^

Posté par re : Trigonomètrie 05-09-10 à 09:20

En fait, pour le a), j'étais tombé sur une forme factoriser mais j'avais pas fait gaffe. Et le b), no comment, c'était ultra simple mais j'ai pas pensé à factoriser ...

J'ai malheuresement deux autre soucis... (lol désolé de redemander, ca fait glandeur qui demande aux autres de tout faire mais c'est pas le cas car j'avais 7 exo de trigo donc genre 20 équation de trigo à faire :/ )

a) cos (2x + 5/12 ) + cos (2x + /12) = racine de (3) / 2

Je vous passe le calcul...

Je tombe en bien factorisant sur :

[ racine de (6) / 2 ] ( cos 2x - sin 2x ) = racine de (3) / 2

Ca doit pas être très commpliqué mais ca m'echappe...

b) Résoudre tan (x) + tan (4x) = 0 de deux manières.

Si j'utilise tan 4x = (2 tan (2x) ) / 1 - tan²(2x), ca me mène pas bien loin.

Après, tan (x) + tan (4x) = 0 <=> tan (x) = - tan(4x) <=> tan (x) = tan (-4x), mais il me semble que ca me sert à rien pour résoudre car je me rappel plus si on "a le droit" de résoudre avec des x de chaque cotè dans les équations trigo. (en général on a genre cos (2x) = cos (/3) )

Si je me gourre et qu'on a le droit alors ca donne ... <=> x = -4x + k puis je résouds tranquille.