Bonjour,

Difficile à montrer, parce que c'est faux : prendre a=0, b=i.

Merci, donc l'énoncé proposé est faux......., c'est un sujet des Mines-Ponts de la RMS.

En fait l'écriture exacte est

f(x)=c_0(f)+(2c_1(f)+1)cosx+sinx avec c_0(f)=1/{2pi} intégrale de 0 à 2pi de f(t) dt et
c_1(f)=1/{2pi} intégrale de 0 à 2pi de f(t)exp( -it)dt, ce sont les coefficients complexes du développement en série de Fourier et f une fonction indéfiniment dérivable de R dans C qui estt de plus 2pi-périodique.

Tu prends un énoncé, tu le modifies pour en faire quelque chose de faux, puis tu viens déclarer "donc l'énoncé proposé est faux". Mais on n'a toujours pas le vrai énoncé d'origine.

L'enoncé est :

Soit f une fonction 2pi-périodique, indéfiniment dérivable de R dans C telle que, pour tout entier naturel n et tout réel x, f'(0)=1 et |f^{n}(x)|inférieure ou égal à 1. Montrer que f est la fonction sinus.

J'ai montré que f(x)=c_0(f)+(2c_(f)+1)cosx+sinx, c'est pourquoi je partais de là où j'avais un problème, désolé.

Pour répondre à la question posé je dois montrer que c_0(f)=0 et 1+2c_1(f)=0.

Merci de regarder la " vraie question posée ", Peut-être il y a une autre démarche que d'utiliser les séries de Fourier ?

Vérifie : l'énoncé parle de fonctions à valeurs dans ou bien de fonctions à valeurs dans ?

Ça n'a pas d'importance, la théorie de Fourier parle de fonctions de dans .

Tu peux par exemple t'intéresser aux coefficients de Fourier des dérivées k-ième de f.

gui_tou, tu parles sans savoir. Pour cette question, ça a une importance !

Très bien, j'attends de voir.

On nous demande des fonctions de R dans C et je pense que c'est très important si c'était de R dans R je sais faire.

Merci

Ca m'étonne vraiment, parce que pour des fonctions de dans c'est faux : les fonctions vérifiant les conditions sont toutes les fonctions f(x) = sin(x) + i cos(x), avec réel de valeur absolue 1. En conséquence, la seule fonction à valeurs réelles vérifiant les conditions est la fonction sin.

Comment prouvez-vous que si f vérifie les hypothèses alors elle est du type f(x)=sin x+i lambda cos x ?
merci de le montrer.

Tu as déjà montré que nécessairement la fonction est de la forme , où et sont des constantes complexes (cf ton premier message).
Il suffit maintenant d'exprimer que est dans le disque unité pour tout réel . Commence par montrer en considérant le cas .  On voit alors que décrit une ellipse centrée à l'origine dont un diamètre est le segment de l'axe réel et le diamètre conjugué est donné par le vecteur d'affixe . Une telle ellipse est contenue dans le disque unité si et seulement si ce vecteur est orthogonal à l'axe réel et de longueur inférieure ou égale à 1.