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Niveau autre
Trigonométrie
Posté par GTX (invité)
Bonjour j'aurai besoin d'un peu d'aide de votre part. pouvez vous me donner la marche a suivre pour résoudre les exercices suivants :
Exercice 1:
1) resoudre : 2cos(
) - sin() <2
2) un nombre a est tel que : tan (a/2) = [b-1 + tan(a)] /[b+1+tan(a)]
trouver la valeur de tan(a)
Exercice 2:
Soit qui n'est pas un multiple de 
, soit n un entier naturel. Trouver une expression simple de :
(de k=1 a k=n) cosk.cos (k)
PS : pour l'exo 2 on a cos(k)= Re (ei)
et ei = cos + sin
Merci d'avance pour votre aide, je ne vous demande pas de me faire cet exercice mais simplement de m'indiquer la marche a suivre pour les réussir et de me deonner des conseils. Merci
2cos(x) - sin(x) < 2
tg²(x/2) = (1-cos(x))/(1+cos(x))
cos(x) = (1-tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2))
sin(x) = tg(x/2).(1 + (1-tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2)))
sin(x) = tg(x/2).(1 + tg²(x/2) + (1-tg²(x/2)))/(1 + tg²(x/2))
sin(x) = 2.tg(x/2)/(1 + tg²(x/2))
-->
2cos(x) - sin(x) < 2
2.(1-tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2)) - 2.tg(x/2)./(1 + tg²(x/2)) < 2
2.(1-tg²(x/2)) - 2.tg(x/2) < 2/(1 + tg²(x/2))
1-tg²(x/2) - 2.tg(x/2) < 1 + tg²(x/2)
-tg(x/2) < 2tg²(x/2)
2tg²(x/2) + tg(x/2) > 0
tg(x/2).(2tg(x/2) + 1) > 0
Tableau de signes ... --> intervalles permis pour tg(x/2) et on en déduit les intervalles convenant pour x.
Vérifie mes calculs avant de continuer.
Posté par GTX (invité)re : Trigonométrie
si j'ai bien compri :
tg(x/2) >0 ou 2tg (x/2) + 1 >0
0<x/2</3 tg(x/2) > -1/2
2<x<2/3 -/3<x/2<-/6
C'est cela non? dit si j'ai faux
merciii
C'était bien le 1 de la question 1.
tg(x/2).(2tg(x/2) + 1) > 0
--> tg(x/2) dans ]-oo ; -1/2[ U ]0 ; oo[
Soit x dans ...
(penser à la périodicité de 2Pi) ...
-----
Ex 1
2)
tan (a/2) = [b-1 + tan(a)] /[b+1+tan(a)]
tan (a/2).[b+1+tan(a)] = [b-1 + tan(a)]
Or tan(a) = 2.tan(a/2)/(1-tan²(a/2)) -->
tan (a/2).[b+1+ 2.tan(a/2)/(1-tan²(a/2))] = [b-1 + 2.tan(a/2)/(1-tan²(a/2))]
tan (a/2).[(b+1)(1-tan²(a/2))+ 2.tan(a/2)] = [(b-1)(1-tan²(a/2)) + 2.tan(a/2)]
En posant tan(a/2) = X pour faciliter l'écriture, on a:
X.[(b+1)(1-X²)+ 2X] = (b-1)(1-X²) + 2X
X.(b+1-bX²-X²+ 2X) = b-bX²-1+X² + 2X
bX+X-bX³-X³+ 2X² = b-bX²-1+X² + 2X
X³(b+1) - X²(b+1) + X(1-b) + (b-1) = 0
X²(b+1).(X-1) + (1-b).(X-1) 0
--> X = 1 est solution
et
X²(b+1) = (b-1)
X² = (b-1)/(b+1)
---
tg(a/2) = 1
tg(a) = 2/(1-1) --> ne convient pas.
----
tg²(a/2) = (b-1)/(b+1)
tg(a/2) = +/- V(b-1)/V(b+1)
Avec le + -->
tg(a) = 2V(b-1)/[V(b+1) * (1 - ((b-1)/(b+1)))]
tg(a) = 2V(b-1)/[V(b+1) * (b+1 - b+1)/(b+1)]
tg(a) = V(b-1)/[V(b+1)/(b+1)]
tg(a) = V(b-1)/[1/V(b+1)]
tg(a) = V(b-1).V(b+1)
tg(a) = V(b²-1)
Avec le - --> tg(a) = -V(b²-1)
tg(a) = +/- V(b²-1)
Reste à voir la solution qui convient en fonction de la valeur de b ...
-----
Attention, bien revoir ce qui précède car cela n'a pas été fort réfléchi.