Niveau autre

Trigonométrie

Posté par GTX (invité) 04-09-06 à 15:38

Bonjour j'aurai besoin d'un peu d'aide de votre part. pouvez vous me donner la marche a suivre pour résoudre les exercices suivants :

Exercice 1:
1) resoudre : 2cos() - sin() <2

2) un nombre a est tel que : tan (a/2) = [b-1 + tan(a)] /[b+1+tan(a)]
trouver la valeur de tan(a)

Exercice 2:

Soit qui n'est pas un multiple de , soit n un entier naturel. Trouver une expression simple de :
(de k=1 a k=n) cos^k.cos (k)

PS : pour l'exo 2 on a cos(k)= Re (eⁱ)
et eⁱ = cos + sin

Merci d'avance pour votre aide, je ne vous demande pas de me faire cet exercice mais simplement de m'indiquer la marche a suivre pour les réussir et de me deonner des conseils. Merci

Posté par re : Trigonométrie 04-09-06 à 16:00

2cos(x) - sin(x) < 2

tg²(x/2) = (1-cos(x))/(1+cos(x))

cos(x) = (1-tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2))

sin(x) = tg(x/2).(1 + (1-tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2)))
sin(x) = tg(x/2).(1 + tg²(x/2) +  (1-tg²(x/2)))/(1 + tg²(x/2))
sin(x) = 2.tg(x/2)/(1 + tg²(x/2))

-->
2cos(x) - sin(x) < 2

2.(1-tg²(x/2))/(1 + tg²(x/2))  - 2.tg(x/2)./(1 + tg²(x/2)) < 2

2.(1-tg²(x/2))  - 2.tg(x/2) < 2/(1 + tg²(x/2))

1-tg²(x/2)  - 2.tg(x/2) < 1 + tg²(x/2)

-tg(x/2) <  2tg²(x/2)

2tg²(x/2) + tg(x/2) > 0

tg(x/2).(2tg(x/2) + 1) > 0

Tableau de signes ... --> intervalles permis pour tg(x/2) et on en déduit les intervalles convenant pour x.

Vérifie mes calculs avant de continuer.

Posté par GTX (invité)re : Trigonométrie 04-09-06 à 16:18

merc c'est sympa c'est bien la question 1) de l'exo 1 nan?

Posté par GTX (invité)re : Trigonométrie 04-09-06 à 16:26

si j'ai bien compri :
tg(x/2) >0             ou 2tg (x/2) + 1 >0
0<x/2</3        tg(x/2) > -1/2
2<x<2/3        -/3<x/2<-/6

C'est cela non? dit si j'ai faux
merciii

Posté par re : Trigonométrie 04-09-06 à 19:17

C'était bien le 1 de la question 1.

tg(x/2).(2tg(x/2) + 1) > 0

--> tg(x/2) dans ]-oo ; -1/2[ U ]0 ; oo[

Soit x dans ...

(penser à la périodicité de 2Pi) ...
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Ex 1

2)
tan (a/2) = [b-1 + tan(a)] /[b+1+tan(a)]

tan (a/2).[b+1+tan(a)] = [b-1 + tan(a)]

Or tan(a) = 2.tan(a/2)/(1-tan²(a/2)) -->

tan (a/2).[b+1+ 2.tan(a/2)/(1-tan²(a/2))] = [b-1 + 2.tan(a/2)/(1-tan²(a/2))]

tan (a/2).[(b+1)(1-tan²(a/2))+ 2.tan(a/2)] = [(b-1)(1-tan²(a/2)) + 2.tan(a/2)]

En posant tan(a/2) = X pour faciliter l'écriture, on a:

X.[(b+1)(1-X²)+ 2X] = (b-1)(1-X²) + 2X

X.(b+1-bX²-X²+ 2X) = b-bX²-1+X² + 2X

bX+X-bX³-X³+ 2X² = b-bX²-1+X² + 2X

X³(b+1) - X²(b+1) + X(1-b) + (b-1) = 0

X²(b+1).(X-1) + (1-b).(X-1) 0

--> X = 1 est solution
et
X²(b+1) = (b-1)

X² = (b-1)/(b+1)
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tg(a/2) = 1

tg(a) = 2/(1-1) --> ne convient pas.
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tg²(a/2) = (b-1)/(b+1)

tg(a/2) = +/- V(b-1)/V(b+1)

Avec le + -->

tg(a) = 2V(b-1)/[V(b+1) * (1 - ((b-1)/(b+1)))]

tg(a) = 2V(b-1)/[V(b+1) * (b+1 - b+1)/(b+1)]

tg(a) = V(b-1)/[V(b+1)/(b+1)]

tg(a) = V(b-1)/[1/V(b+1)]

tg(a) = V(b-1).V(b+1)

tg(a) = V(b²-1)

Avec le - --> tg(a) = -V(b²-1)

tg(a) = +/- V(b²-1)

Reste à voir la solution qui convient en fonction de la valeur de b ...
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Attention, bien revoir ce qui précède car cela n'a pas été fort réfléchi.