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trigonométrie

Posté par
veronico
03-10-23 à 15:29

Bonjour !
J'ai 10 équations à résoudre, mais il y en a 3 qui me posent soucis...

1 ) tan(2x) = tan (π/2 - x)
Puis-je écrire 2x = π/2 - x + 2kπ ?

2) racine(3) * cos (2x - π/5) - sin(2x - π/5) = racine(2)


3) (cos (x) - sin(x))² = 3/2

Merci beaucoup !!

Posté par
toureissa
re : trigonométrie 03-10-23 à 15:36

Bonjour,

Je pense que la tangente est périodique de période π, donc kπ au lieu de 2kπ.

Posté par
malou Webmaster
re : trigonométrie 03-10-23 à 15:37

veronico tu ne m'as pas répondu sur ton niveau dans ton précédent post

Posté par
veronico
re : trigonométrie 03-10-23 à 15:40

toureissa

Merci ! Donc plutôt 2x = π/2 - x + kπ ; je trouve x = π/6 + k*π/3

Pour la 2ème, je ne sais pas comment transformer le cos en sin ou inversement afin d'en avoir seulement un des 2 et de pouvoir résoudre...

Pour le 3eme, je suis parti en faisant cos x - sin x = racine (3/2)
Puis je transforme le cos en 1- sin² et je pose y = sin x
puis je résous cela comme une équation du 2nd degré ?

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:01

@veronico : tes équations du 2) et 3)  se résolvent d'une manière analogue en remarquant qu'elles se ramènent toutes à des équations du type a\,\cos\,u+b\,\sin\,u=c que l'on sait bien traiter. Que dire de ceci ?

c=a\,\cos\,u+b\,\sin\,u=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\cos\,u+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\sin\,u\right)
avec nécessairement

-1\leqslant\dfrac{x}{\sqrt{a^2+b^2}}\leqslant1
pour tout x\in\{a,\,b\}.

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:03

Bien entendu, tout cela n'ayant de sens que si (a,\,b)\ne(0,\,0).

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:06

Pour ta première équation, tu as oublié une chose très importante. A suivre ...

Posté par
veronico
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:07

ThierryPoma

Merci pour votre réponse !
Je ne vois pas comment utiliser ensuite la factorisation... comment ensuite continuer pour trouver quelque chose qui nous arrange...

Posté par
veronico
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:08

ThierryPomaThierryPoma

ThierryPoma @ 03-10-2023 à 16:06

Pour ta première équation, tu as oublié une chose très importante. A suivre ...


A quel niveau ??

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:11

Pour ta première question :

\cos(a+b)=\cdots
\sin(a+b)=\cdots
\cos(a-b)=\cdots
\sin(a-b)=\cdots

Est-ce plus clair ?

Posté par
veronico
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:21

ThierryPoma @ 03-10-2023 à 16:11

Pour ta première question :

\cos(a+b)=\cdots
\sin(a+b)=\cdots
\cos(a-b)=\cdots
\sin(a-b)=\cdots

Est-ce plus clair ?


Merci ! Mais alors si j'utilise cela avec a = 2x et b = pi / 5 ; je me retrouve avec du cos(2x) et c'est impossible après de continuer ?

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:27

Veux-tu, s'il te plait, compléter ce que je te demande avec a et b et le déposer ici ?
Remarquons que

\cos(a+b)+i\,\sin(a+b)=\exp(i\,(a+b))=\exp(i\,a)\,\exp(i\,b)=\cdots

Ce moyen va te permettre d'en retrouver deux, les deux autres s'en déduisant aisément en se souvenant que a-b=a+(-b).

Posté par
veronico
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:31

ThierryPoma @ 03-10-2023 à 16:27

Veux-tu, s'il te plait, compléter ce que je te demande avec a et b et le déposer ici ?
Remarquons que

\cos(a+b)+i\,\sin(a+b)=\exp(i\,(a+b))=\exp(i\,a)\,\exp(i\,b)=\cdots

Ce moyen va te permettre d'en retrouver deux, les deux autres s'en déduisant aisément en se souvenant que a-b=a+(-b).



ah oui !
cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b
cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:46

Comme les fonctions \sin et \cos ont la merveilleuse propriété d'être définie sur \R par les inégalités -1\leqslant\cos\,x\leqslant1 et -1\leqslant\sin\,x\leqslant1 pour tout réel x, sans compter leur 2\,\pi-périodicité, je pense que tu es en mesure de terminer en ré-éxaminant ceci trigonométrie au vu de ces identités trigo-remarquables.

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 16:51

Je ne les ai pas vérifié ; je te fais confiance.
Là, je sors...

Posté par
malou Webmaster
re : trigonométrie 03-10-23 à 17:10

veronico tu abuses
Tu as posté exactement la même chose ailleurs et tu as eu de l'aide aussi là bas

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
veronico
re : trigonométrie 03-10-23 à 17:43

malou

Oui car je désespère et que malgré l'aide, je bloque totalement et ai vraiment besoin de trouver une solution pour cet exercice.....

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 17:54

Bonsoir Malou
J'espère que tu vas bien. Je te remercie pour cette info. Comme je n'aime pas perdre mon temps inutilement, j'abandonne.
Avec tous les outils que j'ai proposés, l'auteur de ce fil a tout dans la main pour traiter ses équations.
Hint: pour la dernière équation, penser à l'identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b). Remarquer également que \sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 18:00

Ok... Es-tu d'accord avec ceci ?

\sqrt{2}=\sqrt{3}\,\cos\,u-\sin\,u=2\,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos\,u-\dfrac{1}{2}\,sin\,u\right)

Es-tu capable de trouver un réel \alpha tel que

\cos\,\alpha=\sqrt{3}}{2}\textbf{ et }\sin\,\alpha=\sqrt{1}}{2}

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 18:02

Ok... Es-tu d'accord avec ceci ?

\sqrt{2}=\sqrt{3}\,\cos\,u-\sin\,u=2\,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\cos\,u-\dfrac{1}{2}\,sin\,u\right)

Es-tu capable de trouver un réel \alpha tel que

\cos\,\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\textbf{ et }\sin\,\alpha=\dfrac{1}{2}

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 18:06

Je rappelle que 2=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}, pour effectuer un rapprochement avec le théorique.

Posté par
ThierryPoma
re : trigonométrie 03-10-23 à 18:12

Je précise aussi que u=2\,x-\dfrac{\pi}{5}. Déjà, résolvons l'équation en l'inconnue u, le reste étant simple.



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