Niveau première

trigonométrie: coordonnées cartésiennes et polaires

Posté par misschiwi (invité) 14-12-04 à 19:50

voilà,j 'ai un problème, voici l'énoncé:

(O;i;j) est un repère orthogonal direct du plan orienté. Le point A a pour coordonnées (4;3). On note r la rotation de centre O et d' angle ( PI/2) et B l'image de A par la rotation r.

1.a.Construire A et B.
b.On note (r;alpha) les coordonées polaires de A dans le repère (O;i). Vérifier que r=5, cos(alpha)=4/5 et sin (alpha)=3/5.
c. pourquoi(5;(alpha+pi/2) sont elles les coordonnées polaires de B?

2.a.déduire de la quetio près cédente les valeurs de cos(apha+pi/2) et sin(alpha+pi/2)
b.Quelles sont les coordonnées cartésiennes du point B?
c.Quelles sont les coordonnées cartésiennes du point C tel que OACB est une carré?

Je n'arrive pas a faire la quetion 2. POuvez vous m'aider.
D'avance merci beaucoup.a +++

Posté par misschiwi (invité)je n y arrive vraiment pas ... 14-12-04 à 22:03

Je n'ai tjous pas compris le raisonnement. Si vous avez une idée, n'importe laquelle, pouvez vous me la suggérer,stp???
à+,j'espere.

Posté par re : trigonométrie: coordonnées cartésiennes et polaires 14-12-04 à 22:09

Bonjour

Peut etre en t'aider de

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Jord

Posté par re : trigonométrie: coordonnées cartésiennes et polaires 15-12-04 à 11:15

1)
a) voir dessin
---
b)
Pythagore dans le triangle AOH:
OA² = AH² + OH²
OA² = 3² + 4² = 25
OA = 5

$OH = OA.cos(\alpha)$
$\to$ $cos(\alpha) = \frac{OH}{OA} = \frac{4}{5}$
---
$AH = OA.sin(\alpha)$
$\to$ $sin(\alpha) = \frac{AH}{OA} = \frac{3}{5}$
-----
c)
En coordonnées polaires, un point A est repéré par:
1° La distance qui le sépare de l'origine , soit la longueur OA = 5
2° L'angle que OA fait avec l'axe horizontal, soit l'angle $\alpha$ sur le dessin.

Donc en coordonnées polaires, on a : $A(5 ; \alpha)$
(Remarque, $\alpha$ est calculable puisque $AH = OH.tg(\alpha)$ )

Comme B est obtenu par rotation de Pi/2 de A avec O comme centre, on sait que |OB| = |OA| = 5
et que angle(HOB) = angle(HOA) + angle(AOB)
Soit: angle( $\alpha ' = \alpha + \frac{\pi}{2}$

Et donc en coordonnées polaires, on a $B(|OB| ; \alpha ')$ soit $B(5 ; \alpha + \frac{\pi}{2})$
----------
2)
a)

L'abscisse de B en coordonnées cartésiennes est $5.cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$
Sur le dessin, on voit qu'elle vaut -|BP|

Or BP = OA.sin(BOP)
angle(BOP) = angle(AOH) (car ces angles ont des cotés perpendiculaires).
-> $BP = 5.sin(\alpha)$
$Abscisse\ de \ B = -5.sin(\alpha)$
et donc:
$5.cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -5.sin(\alpha)$
$cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -sin(\alpha)$
$cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\frac{3}{5}$
---
L'ordonnée de B en coordonnées cartésiennes est $5.sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$
Sur le dessin, on voit qu'elle vaut |OP|

Or OP = OA.cos(BOP)
angle(BOP) = angle(AOH) (car ces angles ont des cotés perpendiculaires).
-> $OP = 5.cos(\alpha)$
$Ordonnee\ de \ B = 5.cos(\alpha)$
Et donc:
$5.sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) =   5.cos(\alpha)$
$sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = cos(\alpha)$
$sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \frac{4}{5}$
-----
b)
B(-3 ; 4)
-----
c)
$\vec{OB} = (-3 ; 4)$
$\vec{AC} = \vec{OB} = (-3 ; 4)$
C(4-3 ;3 + 4)
C(1 ; 7)
-----
Sauf distraction.  Vérifie.

trigonométrie: coordonnées cartésiennes et polaires

Posté par misschiwi (invité)merci beaucoup beaucoup.... 15-12-04 à 14:41

C'est vraiment gentil JP, je n'en demandait pas tant.j'ai compris ce qui n'allait pas. Merci beaucoup. bonne journée.a+.

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