Trigonométrie et Complexes

 Niveau Licence Maths 1e annPartager :
			        
Trigonométrie et Complexes
Posté par 
luwna30  07-01-19 à 16:18
Bonjour à tous,

Je bloque sur une question de mon devoir :

Déduire que cos(2π/5) = (-1+√5)/2

Lors de la question précédente, j'ai résolu un polynôme du second degré: Z2+Z-1=0.

∆=5, les solutions x1= (-1+√5)/2 et X2=(-1-√5)/2.

La solution est la même que celle de l'équation que dois démontrer, mais je ne sais pas comment m'y prendre

Merci de votre aide! 
 Posté par 
Camélia re : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 16:21
Bonjour

Montre que  est racine du polynôme.
 Posté par 
luwna30re : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 16:23
Sachant que j'ai pu trouver que Z=(z0+(1/z0)

Et que z0=ei(2π/5)
 Posté par 
Camélia re : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 16:24
Bon, alors tu as tout ce qu'il faut!
 Posté par 
luwna30re : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 16:30
Ah bon ? 
 Posté par 
verdurinre : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 16:33
Bonjour,

juste une remarque : cos(2π/5) = (-1+√5)/2 est  faux.

En effet  cos(2π/5)=(-1+√5)/4
 Posté par 
luwna30re : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 17:29
Ah oui en effet faute d'inattention, mes excuses 
 Posté par 
luwna30re : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 17:48
Merci pour votre aide j'ai trouvé la réponse ! 😁

Z=z0+(1/z0)

    =ei(2π/5) + 1/ei(2π/5)

    =ei(2π/5) + e-i(2π/5)

Grace à la formule d'Euler on sais que:

ei+e-i = cos()

Donc,

  =2cos(2π/5)

Alors, en reprenant l'équation,

2cos(2π/5)=(-1+√5)/4

cos(2π/5)=((-1+√5)/4)/2

cos(2π/5)=(-1+√5)/2

Et voilà, on a bien démontrer l'égalité 
  Posté par 
verdurinre : Trigonométrie et Complexes  07-01-19 à 19:38
Tu as vraiment un problème avec les facteurs 2.

ei+e-i = 2cos()

((-1+√5)/4)/2=(-1+√5)/8

Si 2cos(2π/5)=(-1+√5)/2 alors cos(2π/5)=(-1+√5)/4