Niveau Maths sup

Trigonométrie, formules de linéarisation et d'addition

Posté par
lapiinou 28-08-10 à 16:14

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je bloque sur une question:
Montrez comment vous pouvez déduire le formules de linéarisation ( de (I.5.1.) à (I.5.5)) des formules d'addition

Les formules d'addition de mon énoncé sont :

e^i(a+b)=e^iae^ib
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
Sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
Sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

Les formules de linéarisation à déduire sont:
I.5.1 : cos²(a)=(1+cos(2a))/2
I.5.2 : sin²(a)=(1-cos(2a))/2
I.5.3 : cos(a)cos(b)=(cos(a+b)-cos(a-b))/2
I.5.4 : sin(a)sin(b)=(cos(a-b)-cos(a+b))/2
I.5.5 : sin(a)cos(b)=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

Merci beaucoup de votre quelconque aide, je ne demande juste que des pistes pour chercher car je suis bloqué.

Posté par re : Trigonométrie, formules de linéarisation et d'addition 28-08-10 à 16:44

pose p=(a+b)/2 et q=(a-b)/2:
Cela donne a= (p+q) et b=(p-q). Remplace dans tes expressions cela va venir de suite.

Posté par re : Trigonométrie, formules de linéarisation et d'addition 29-08-10 à 13:14

Je ne vois pas en quoi ce changement de variable est utile à trouver la première formule de linéarisation par exemple..

Posté par re : Trigonométrie, formules de linéarisation et d'addition 29-08-10 à 13:33

Salut,

essaie a = b dans ta deuxième formule d'addition ...

Posté par re : Trigonométrie, formules de linéarisation et d'addition 29-08-10 à 13:46

Bonjour,

1)2) On a:

Citation :
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

avec $b=a$ , on obtient $\cos\,2a=\cos^2a-\sin^2a$

soit encore: $\cos\,2a=2\,\cos^2a-1$ (1)

ou bien: $\cos\,2a=1-2\sin^2a$ (2)

De (1) on tire $\cos^2a=\frac{1+\cos\,2a}{2}$

De (2) on tire $\sin^2a=\frac{1-\cos\,2a}{2}$

3)

Citation :
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

On additionne membre à membre pour obtenir:

$2\,\cos\,a\,\cos\,b=\cos\,(a+b)+\cos\,(a-b)$

soit: $\cos\,a\,\cos\,b=\frac{1}{2}[\cos\,(a+b)+\cos\,(a-b)]$

4) On retranche membre à membre pour obtenir:

$2\,\sin\,a\,\sin\,b=\cos\,(a-b)-\cos\,(a+b)$

soit: $\sin\,a\,\sin\,b=\frac{1}{2}[\cos\,(a-b)-\cos\,(a+b)]$

5)

Citation :
Sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
Sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

On additionne membre à membre pour obtenir:

$2\,\sin\,a\,\cos\,b=\sin\,(a+b)+\sin\,(a-b)$

soit: $\sin\,a\,\cos\,b=\frac{1}{2}[\sin\,(a+b)+\sin\,(a-b)]$