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Trigonométrie : récurrence féroce ?

Posté par Haribo (invité) 04-07-07 à 22:38

Bonjour, je cherche un peu d'aide en ce qui concerne la question ci-dessous :

Montrer que pour tout réel x élément de ]0,1[ et tout entier n non nul :

2(somme de k=1 à n)cos(2k(pi)x)=cotan((pi)x)sin(2n(pi)x)+cos(2npix)-1

J'ai cherché très longuement de résoudre cette question par récurrence (est-ce la seule manière?) mais en vain (je me suis noyé dans les formules de trigo...).

Merci.

P.S : désolé si ce n'est pas très lisible.

Posté par
Roulianere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:16

Bonsoir,

L'idée ici, c'est pas de raisonner par récurrence, mais d'utiliser que cos(2k(pi)x)=Re[exp(2k(pi)x)]

Posté par
Tigweg Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:38

Bonsoir Haribo,



il te suffit d'utiliser le fait que pour tout k, on a

5$2cos(2k\pi x)=e^{i2k\pi x}+e^{-i2k\pi x}.

Le membre de gauche s'écrit alors

5$\bigsum_{k=1}^n e^{i2k\pi x}+\bigsum_{k=1}^n e^{-i2k\pi x},

ce qu'il est possible de considérer comme une somme allant de -n à n, mais en soustrayant à sa suite le terme obtenu pour k=0, qui n'apparaît pas(mais qui vaut 1).

Le tout vaut donc 5$\bigsum_{k=-n}^n e^{i2k\pi x}-1, et on reconnaît la somme de 2n+1 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 5$ e^{i2\pi x}\neq 1 (car x n'est pas entier par hypothèse), et de premier terme 5$ e^{-i2n\pi x}.

En appliquant les formules de ton cours de Première sur les suites et en transformant tes expressions du type 5$1-e^{i\theta} en 5$-e^{i\theta/2}2isin(\theta/2), enfin en utilisant les définitions de tan et de cotan en fonction de sin et de cos, on obtient le résultat attendu.


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:40

Bonsoir Rouliane,

oui c'est aussi une possibilité
Désolé,je mets tellement de temps avec ce fichu Latex!

Posté par
Roulianere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:41

Salut Tigweg,

Ca fait 2 possibilités, c'est très bien

Posté par
Cauchyre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:43

Salut,

Tigweg si t'as commencé ton message à 22h38, abandonne le Latex

Posté par
Tigweg Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:45

Lol je dirais à 23h Cauchy, c'est grave?

Posté par
Roulianere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:46

Posté par
Cauchyre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:51

Non c'est encore soignable

Posté par
Tigweg Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 04-07-07 à 23:54

Ouf, vous me rassurez les amis!

Posté par Haribo (invité)re : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 09:53

Pas mal! Merci beaucoup.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 13:14

Mais je t'en prie!

Tu arrives à faire la suite?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 16:52

Bonjour,

Rouliane et Tigweg t'ont proposé deux méthodes par les complexes.

La récurrence doit fonctionner également.

Ci-dessous une quatrième méthode utilisant uniquement les formules trigonométriques de base...

La formule que l'on propose de démontrer n'a de sens que pour \fbox{x\not\in\mathbb{Z}}

On pose \forall x\in\mathbb{R},\;\left\{\begin{array}{rcl} \\ C(x) &=& 2\Bigsum_{1\le k\le n}\cos 2k\pi x\\ \\ S(x) &=& 2\Bigsum_{1\le k\le n}\sin 2k\pi x \\ \end{array}\right.

D'après les formules d'addition :
\forall k\in|[1;n]|,\;\forall x\in\mathbb{R},\;\sin 2(k+1)\pi x=\sin 2k\pi x\cdot\cos 2\pi x+\cos 2k\pi x\cdot\sin 2\pi x

On somme de 1 à n :
\forall x\in\mathbb{R},\;\frac{S(x)}{2}+\sin 2(n+1)\pi x-\sin 2\pi x=\frac{S(x)}{2}\cos 2\pi x+\frac{C(x)}{2}\sin 2\pi x

\fbox{\forall x\in\mathbb{R},\;S(x)\frac{1-\cos 2\pi x}{2}-C(x)\frac{\sin 2\pi x}{2}=\sin 2\pi x-\sin 2(n+1)\pi x} (1)

De même, d'après les formules d'addition :
\forall k\in|[1;n]|,\;\forall x\in\mathbb{R},\;\cos 2(k+1)\pi x=\cos 2k\pi x\cdot\cos 2\pi x-\sin 2k\pi x\cdot\sin 2\pi x

On somme de 1 à n :
\forall x\in\mathbb{R},\;\frac{C(x)}{2}+\cos 2(n+1)\pi x-\cos 2\pi x=\frac{C(x)}{2}\cos 2\pi x-\frac{S(x)}{2}\sin 2\pi x

\fbox{\forall x\in\mathbb{R},\;S(x)\frac{\sin 2\pi x}{2}+C(x)\frac{1-\cos 2\pi x}{2}=\cos 2\pi x-\cos 2(n+1)\pi x} (2)

Les équations (1) et (2) forment un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues C(x) et S(x).

Son déterminant est :
\Delta=\left|\begin{array}{cc} \\ \frac{1-\cos 2\pi x}{2} & -\frac{\sin 2\pi x}{2}\\ \\ \frac{\sin 2\pi x}{2} & \frac{1-\cos 2\pi x}{2} \\ \end{array}\right|=\frac{1-\cos 2\pi x}{2}\neq 0 si on suppose x\not\in\mathbb{Z}

Puis :
C(x)=\frac{\left|\begin{array}{ccc} \\ \frac{1-\cos 2\pi x}{2} && \sin 2\pi x-\sin 2(n+1)\pi x\\ \\ \frac{\sin 2\pi x}{2} && \cos 2\pi x-\cos 2(n+1)\pi x \\ \end{array}\right|}{\Delta}

C(x)=\frac{\cos 2\pi x-\cos 2(n+1)\pi x-1+\sin 2\pi x\cdot\sin 2(n+1)\pi x+\cos 2\pi x\cdot\cos 2(n+1)\pi x}{1-\cos 2\pi x}

Or \forall a,b\in\mathbb{R}^2,\;\cos a\cdot\cos b+\sin a\cdot\sin b=\cos(a-b). Donc :
C(x)=\frac{\cos 2\pi x-\cos 2(n+1)\pi x-1+\cos2n\pi x}{1-\cos 2\pi x}

C(x)=\frac{\cos2n\pi x-\cos 2(n+1)\pi x}{1-\cos 2\pi x}-1

Or \left\{\begin{array}{lrcl} \\ \forall a\in\mathbb{R}, & 1-\cos a &=& 2\sin^2\frac{a}{2}\\ \\ \forall p,q\in\mathbb{R}^2,\, & \cos p-\cos q &=& -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2} \\ \end{array}\right.
Donc :
C(x)=\frac{2\sin(2n+1)\pi x\cdot\sin \pi x}{2\sin^2\pi x}-1

\fbox{C(x)=\frac{\sin(2n+1)\pi x}{\sin\pi x}-1}

Or \forall a,b\in\mathbb{R}^2,\;\sin(a+b)=\sin a\cdot\cos b+\sin b\cdot\cos a, donc :
C(x)=\frac{\sin 2n\pi x\cdot\cos\pi x+\cos 2n\pi x\cdot\sin\pi x}{\sin\pi x}-1

C(x)=\mathrm{cotan}\pi x\cdot\sin 2n\pi x+\cos 2n\pi x-1

\fbox{2\Bigsum_{1\le k\le n}\cos 2k\pi x=\mathrm{cotan}\pi x\cdot\sin 2n\pi x+\cos 2n\pi x-1}

CQFD.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
infophilere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 16:53

Bonjour Nicolas

C'est le cadeau de Skops ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 16:54

Exactement ! (https://www.ilemaths.net/sujet-bon-anniversaire-143068.html)
J'y avais pensé avant ton message...

Bonjour, Kévin

Posté par
infophilere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 16:55

:D

Joli ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:01

Kévin, je viens de tomber sur ce document PDF que tu as proposé sur ce fil : je vois que tu LaTeX-ifie aussi à fond. Ton document est très élégant.

Posté par
infophilere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:02

Oui je voulais mettre ma solution au propre mais malheureusement à la fin il y a une coquille

Donc tout ça pour rien

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:08

oh comme c'est beau!
ils font le même en rose?

Bonjour Nicolas !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:12

"ils font le même en rose?" >> tu ne m'auras pas ; je suis sage maintenant !

Bonjour, Sarriette !

Posté par
Epicurienre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:15

Salut à tous

sarriette>>

Nicolas>>Bravo pour le \LaTeX

Kuid

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:17

non non , Nicolas, je te promets qu'il n'y avait rien de sous entendu (cette fois) !
C'est juste que c'est beau à regarder mais comme je n'ai pas plongé dans le détail, la remarque idiote qui m'est venue à ce moment là était celle-là...

Posté par
Epicurienre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:19

Citation :
C'est juste que c'est beau à regarder


Toutafé comme les posts d'elhor et de Kévin ( même si je comprends souvent rien )

Kuid

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:20

"je te promets qu'il n'y avait rien de sous entendu" >> attention tout le monde, quelqu'un vient de subtiliser l'identité de sarriette ; ce n'est pas elle qui rédige les messages qui lui sont attribuées, mais une personne indélicate qui a pris le contrôle de son ordinateur !

Allez, en presque-rose :
\red\mathrm{Vive\ \LaTeX}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:21

Une petite nuance pour Elhor, cependant : c'est beau et brillant.

Posté par
Epicurienre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:24

A toi aussi! (ainsi qu'a Kévin )

Qu'il est humble , mais qu'il est humble

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:27

Nicolas>> euh, il m'arrive d'être sérieuse aussi , mais je n'en abuse pas...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:28

sarriette >> Si tu me voyais au bureau ! On ne peut plus sérieux...

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:32

Nicolas>> oui j'imagine, costard-cravate et tutti quanti...
C'est l'avantage du virtuel, on se lache!

Bonne soirée, Nicolas!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 17:34

Bonne fin de journée, sarriette !

Posté par
Tigweg Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 05-07-07 à 22:13

Wouaw Nicolas, très joli en effet...si je devais soigner mes posts comme toi, j'en aurais pour 3 nuits minimum

Cela dit, je trouve (pour cet exo) que l'utilisation des complexes conduit plus rapidement au résultat (d'autant qu'on voit les complexes avant les déterminants! )


Tigweg

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 06-07-07 à 01:08

Salut !

Absolument d'accord pour dire que les complexes sont plus rapides.

Cependant, la démonstration que j'ai proposée permet à quelqu'un qui ne les a pas étudiés de démontrer le résultat (en remplaçant les déterminants par une simple résolution de système 2X2 par combinaison linéaire).

Nicolas

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 06-07-07 à 01:11

Hello Nicolas et bonne journée !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 06-07-07 à 01:12

Hello Sarriette et bonne !

Posté par
infophilere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 06-07-07 à 01:15

Le p'tit bonjour nocturne

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 06-07-07 à 01:28

Il est temps de laisser la place à l'équipe de nuit !

Posté par
infophilere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 06-07-07 à 01:35

Posté par
Roulianere : Trigonométrie : récurrence féroce ? 06-07-07 à 01:50

Salut Nicolas, ça faisait longtemps

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 06:18

La récurrence ne semble en effet pas évidente. Il faut utiliser les formules... dans le bon ordre !

Néanmoins, voici une proposition pour l'hérédité.

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=2\Bigsum_{1\le k\le n}\cos 2k\pi x+2\cos 2(n+1)\pi x

On applique l'hypothèse de récurrence :

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\mathrm{cotan}\pi x\cdot\sin 2n\pi x+\cos 2n\pi x-1+2\cos 2(n+1)\pi x

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\fbox{\cos\pi x\cdot\sin 2n\pi x+\sin\pi x\cdot\cos 2n\pi x}+2\cos 2(n+1)\pi x\cdot\sin\pi x}{\sin\pi x}-1

Or \forall a,b\in\mathbb{R},\;\sin a\cdot\cos b+\cos a\cdot\sin b=\sin(a+b). Donc :

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\sin(2n+1)\pi x+2\cos 2(n+1)\pi x\cdot\sin\pi x}{\sin\pi x}-1

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\sin(2n+1)\pi x+2\fbox{\cos ((2n+1)+1)\pi x}\cdot\sin\pi x}{\sin\pi x}-1

Or \forall a,b\in\mathbb{R},\;\cos(a+b)=\cos a\cdot\cos b-\sin a\cdot\sin b. Donc :

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\sin(2n+1)\pi x+2\cos(2n+1)\pi x\cdot\cos\pi x\cdot\sin\pi x-2\sin(2n+1)\pi x\cdot\sin^2\pi x}{\sin\pi x}-1

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{(1-2\sin^2\pi x)\cdot\sin(2n+1)\pi x+2\cos(2n+1)\pi x\cdot\cos\pi x\cdot\sin\pi x}{\sin\pi x}-1

Or \forall a\in\mathbb{R},\;\left\{\begin{array}{rcl} \\ 1-2\sin^2a &=& \cos 2a\\ \\ 2\cos a\cdot\sin a &=& \sin 2a \\ \end{array}\right.
Donc :

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\cos 2\pi x\cdot\sin(2n+1)\pi x+\sin 2\pi x\cdot\cos(2n+1)\pi x}{\sin\pi x}-1

Or \forall a,b\in\mathbb{R},\;\sin a\cdot\cos b+\cos a\cdot\sin b=\sin(a+b). Donc :

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\sin(2n+3)\pi x}{\sin\pi x}-1

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\sin(2(n+1)+1)\pi x}{\sin\pi x}-1

Or \forall a,b\in\mathbb{R},\;\sin(a+b)=\sin a\cdot\cos b+\cos a\cdot\sin b. Donc :

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\frac{\cos\pi x\cdot\sin 2(n+1)\pi x+\sin\pi x\cdot\cos 2(n+1)\pi x}{\sin\pi x}-1

2\Bigsum_{1\le k\le n+1}\cos 2k\pi x=\mathrm{cotan}\pi x\cdot\sin 2(n+1)\pi x+\cos 2(n+1)\pi x-1

... ce qui termine la démonstration de l'hérédité de la récurrence.

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 08:15

bonjour Nicolas

alors là, chapeau !
Jolie succession de formules trigo. Un pur plaisir!
et un latex impec comme d'ab !

Posté par Haribo (invité)re : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 08:39

lol bravo c'est pas évident de s'y retrouver pourtant !

Re tigweg : oui j'ai réussi à finir laborieusement... (j'ai mis du temps à cause d'une erreur dans la formule de première (honte sur moi^^).)

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 08:44

bonjour Haribo!

si, si on y arrive, une ligne après l'autre ...
En plus il a pris soin de mettre les formules utilisées donc meme pas besoin de ressortir sa fiche perso!
J'ai réussi avec un seul café, c'est dire...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 08:50

Bonjour sarriette , bonjour à tous !
Et merci !

Tu me donnes envie de prendre un café. J'y vais ce ce pas !

Posté par
jamo Moderateurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 17:33

sarriette >> c'est de ta famille : vecteurs

Posté par
sarriette Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 17:36

bonjour jamo ,

ben non!

mariette , c'est un joli pseudo par ailleurs

Posté par
Tigweg Correcteurre : Trigonométrie : récurrence féroce ? 07-07-07 à 19:14

Bonjour à tous!

Citation :
Re tigweg : oui j'ai réussi à finir laborieusement...


-> Tant mieux Haribo,l'essentiel c'est d'y parvenir!


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