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Triplet de coordonnées barycentriques
Salut est ce que vous pouvez m'aider ?
C'est un exercice sur barycentre
Exercice
Soit ABC un triangle qui n'est pas rectangle. On note a=BC, b=AC , c=AB, 
= mesBAC , 
mesABC et 
=mesACB.
1. Montrer que l'orthocentre H de ABC est le barycentre de {(A, tan ), (B,tan), (C,tan)}
2. Donner un Triplet de coordonnées barycentriques de chacun des points A1, B1, C1 projetés orthogonaux respectifs de A, B, C sur (BC), (CA), et (AB).
3. Montrer que [ 1/(b2+c2-a2) , 1/(a2+c2-b2, 1/(a2+b2-c2) ] est un autre triplet de coordonnées barycentriques de l'orthocentre H dans le repère (A,B,C).
Pour le numéro 1 j'ai utilisé ce système {(A,tan), (B, ), (C,tan)} pour exprimerAH et BH respectivement en fonction de AB, AC et BA,BC et ensuite j'ai calculé AH.BC et BH.AC j'ai trouvé 0 pour les deux calculs donc j'ai conclu que H est l'orthocentre de ABC et est le barycentre du système {(A,tan), (B, ), (C,tan)}.
Pour les numéros 2 et 3 j'ai aucune idée.
salut
2/ dans chaque cas l'une des coordonnées sera nulle
et par exemple pour A' (j'utilise un prime plutôt qu'un indice car plus ergonomique) tu cherche une relation vectorielle uBA' + vCA' = 0 où u et v sont des réels à déterminer ... sachant que (AA4) est perpendiculaire à (BC) ...
J'ai pensé à utiliser les aires.
Aire(ABA')= (A'B×AA')/2 
AA'=2Aire(ABA')/BA'
Aire(ACA')=(CA'×AA')/2 AA'=2Aire(ACA')/CA'
on peut écrire alors la relation 2Aire(ABA')/BA'=2Aire(ACA')/CA'
Aire(ABA')×CA'= Aire(ACA')×BA'
Comme BA' et CA' sont de sens opposé alors on peut remplacer les distances par la mesure algébrique
Donc Aire(ABA')×CA'= -Aire(ACA')×BA' Air(ABA')×CA'=- Aire(ACA')×BA'Aire(ABA')CA'+Aire(ACA')BA'=0.
Les vecteurs sont en italiques et les mesures algébriques en gras.
ça me semble convenable mais ça doit se simplifier très certainement
et surtout il faut exprimer tout cela en fonction de a, b, c et des angles
Lorsque j'ai essayé en utilisant les tangentes j'ai trouvé tanBA'+tanCA'=0
Est ce que je dois chercher le u et v en fonction de a,b,c?
ben tu les as les u et v : c'est les coefficients des vecteurs BA' et CA' !!
dans ton cas et comme pour H ben tu vois que ça ne dépend que des angles mais pas des longueurs
pour d'autres points ça peut ne dépendre que des longueurs et pour d'autres des deux : longueurs et angles ...
Ah d'accord. Donc on fait la même chose pour les 2 autres aussi . Donc on cherchera un couple (u,v) tel que uAB' + v AC'=0 et uAC'+ vBC'=0
ben tu peux faire la même chose qu'en 1/
mais plus généralement si tu veux montrer que (x, y, z) est un triplet bary... de H tu dois montrer que xAH + yBH +zCH= 0 (en vecteur)
Bonjour,
Pour 3), on peut aussi montrer que les coefficients donnés en 1) et 3) sont proportionnels.
Il est facile de montrer que où
est l'aire du triangle
.
Ok je vois. J'ai réussi à démontrer que les coefficients en 1) et 3) sont proportionnels. Merci beaucoup à vous 🙏
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