salut

et on suppose pgcd (x, y) = 1 d'après 1/

si d = pgcd (z - x, z + x) alors z - x = du et z + x = dv avec pgcd (u, v) = 1

alors

ouais bof ...

si d divise z - x et z + x alors il divise z - x + z + x = 2z et z + x - (z - x) = 2x et donc d'après 1/ d  = 1 ou d divise 2 donc d = 1 ou d = 2

...

Merci
j'ai déjà fait ceci or je pense q'on peut pas supposer que pgcd(x,y)=1 càd que pgcd(x,z)=1 car ce n'est pas indiqué dans cette question pour l'utiliser

as-tu lu ce que j'ai écrit ?

mon d est ton d' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

parce que on applique évidemment 1/ pour s'attaquer à 2/ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ok
Pour la question suivante si d'=1
on sait que z-x et z+x ont la même parité or ces deux nombres ne peuvent pas être pairs car dans ce cas d'=2 donc z-x et z+x sont impairs par conséquent x et z ont des parités différentes or z ne peut pas être pair car dans ce cas x et y seront impairs si on remplace les deux nombres par 2k+1 et 2k'+1 on trouvera que z est congru à 2 modulo 4 ce qui est impossible car un carré d'un nombre pair est divisible par 4 donc z est impair et x est pair d'où y est impair donc on peut dire que y=uv avec u et v sont impairs

Bonjour,
Je ne comprends pas bien cet exercice.
Tout d'abord, parler de pgcd(x,y) sans prendre la précaution de x et y non nuls...
N'importe quel triplet (a , 0 , a) est solution.
Ensuite, je suis comme ayjab : Après la question 1), j'ai rien pigé

Je me suis contentée de trouver quelques autres solutions : (2,1,3) (4,2,6) et (2,3,7)

Quelqu'un pourrait-il tenter de me décoincer ?

Si on cherche  l'ensemble S := { (x,y,z) (*)³  │ x² + 5y² = z²  } on commence par dire que si (x,y,z) S   et si d = pgcd (x,y)  alors  (x' ,  y ' , z ')  = (1/d).(x , y , z)   S .
On se limite donc à chercher   T  := { (x,y,z) (*)³  │ pgcd (x,y) = 1 et  x² + 5y² = z²  }  .

La question 2 doit alors commencer par :
    soit  (x , y , z)    T  .....

il est évident que si (a, b, c) est une solution alors (ka, kb, kc) est aussi une solution !!!

on peut donc choisir/chercher les triplets "primitifs" tels que pgcd (x, y) = 1

puisque si q divise x et y il divise toute combinaison linéaire de x et y or est évidemment une CL de x et y

de plus si d divise x et y alors d^2 divise x^2 + 5y^2 donc divise z^2

dans la suite on suppose donc que pgcd (x, y) = 1


on pose alors d = pgcd (z - x, z + x)

carpediem @ 19-01-2019 à 21:20

et on suppose pgcd (x, y) = 1 d'après 1/

si d = pgcd (z - x, z + x)

alors d divise z - x et z + x donc il divise z - x + z + x = 2z et z + x - (z - x) = 2x et donc d'après 1/ d  = 1 ou d divise 2 donc d = 1 ou d = 2

...

Merci pour vos réponses.
Je crois que ce qui me manquais pour 2), c'est de penser à utiliser pgcd(2x,2y) = 2pgcd(x,y) = 2 .
Si d divise 2x et 2y alors d divise 2 .

Je regarderai les autres questions demain et reposterai si je suis de nouveau perdue.

Bonjour,
Encore moi en perdition
Je ne vois pas d'où vient 5u²+v²=z² dans 3) .

moi non plus

tout ce que je peux dire (toujours) en partant de 1/ donc que pgcd (x, y) = 1 :



or z - x et z + x on même parité  (z + x = z - x + 2x)

a/ si z et x sont pairs alors z - x et z + x sont pairs dont 2 divise 5y^2

et puisque 2 ne divise pas 5 alors 2 divise y  .... ce qui est contradictoire avec 1/

b/ si z et x sont impairs alors z - x et z + x sont pairs et on retombe dans le cas précédent

on en conclut donc que x et z n'ont pas même parité


premier cas : supposons x = 2m + 1 et z = 2n



qui n'a pas de solution (congruence modulo 4)

deuxième cas : x = 2m et z = 2n + 1



qui peut admettre des solutions


on en déduit donc que x est pair et y et z sont impairs donc en posant x = 2m et y = 2m + 1 et z = 2p + 1

... ouais bof ...

Merci pour cette réponse. Elle me rassure un peu sur l'usure de mes neurones vieillissantes

Il y a au moins 3 triplets primitifs : (2,4,3) (2,3,7) (1,4,9) .

Je vais rafraichir ma mémoire sur les vrais triplets pythagoriciens. Ça me donnera peut-être des idées.

Soient donc x , y ,z dans  * vérifiant xy = 1 et  x² + 5y² = z²
:= xz divise 5y²
    Si on avait   = 5  , X = x/5 et Z = z/5  seraient des entiers > 0 vérifiant  5X² + y² = 5Z²  et    5 diviserait  y  et  il y aurait contradiction puisque   = 5 divise  x   .
    Supposons que soit > 1 et  soit p un diviseur premier de . On a donc p 5 et donc p divise y . Comme p divise aussi x on a encore une contradiction .
On a  donc : xz = 1 .
d ' = (z - x)(z + x) divisant 2x et 2z  donc aussi 2x2z = 2 ne peut donc être que 1 ou 2 .

D'accord pour 1) et 2).

Mais avec la solution (2,1,3) il y a un problème pour 3) :
x = 2 y = 1 z = 3 . on a bien 4 + 5 = 9 .
z+x = 5 et z-x = 1 . Le pgcd est bien 1.
Les possibilités pour écrire y = uv sont limitées.
Même dans , on aura toujours u² = 1 et v² = 1 .
C'est embêtant pour 5u²+v²=z²

Quant au 4), je trouve difficile avec (1,4,9) , c'est à dire y = 4 , de trouver y = 2uv avec u et v impairs...

Bon, ben finalement, je me suis prise la tête avec un énoncé faux
D'après le titre, il faut enlever le 5 et on se retrouve avec un exercice classique.

Bonjour à tous.

D'abord, merci à Sylvieg d'avoir relancé le topic.

Je suis d'accord avec l'ensemble des intervenants, les questions 3 et 4 demandent de démontrer un résultat faux. On peut cependant résoudre l'équation en tenant compte des résultats trouvés dans les deux premières questions. On cherche donc l'ensemble des solutions entières de l'équation     telles que   .

Détermination des solutions telles que  
On a      
Un raisonnement classique en arithmétique permet d'établir qu'il existe dans tel que les deux nombres et soient égaux à et et tel que   . Quitte à remplacer par , on peut supposer que :
  et   et  .
On en déduit que:
    ,          ,        avec    
Pour que et soient entiers, il est nécessaire que et soient tous deux impairs. Pour se limiter aux solutions à valeurs positives, on choisira     .

Réciproquement, supposons qu'il existe tel que:
et impairs,   ,     ,          ,     .
Il n'est pas difficile de montrer que est une solution de l'équation telle que      et  .

Détermination des solutions telles que  
De la même manière, on peut montrer que les solutions de l'équation telles que et sont les triplets pour lesquels il existe tel que:
et sont de parité différente,   ,    ,    ,  


En espérant ne pas avoir fait d'erreur ...

Bravo perroquet d'avoir persévéré et trouvé une solution qui tient la route