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triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3

Posté par
delaspe
05-01-19 à 17:41

En faite pour mon dm de spé maths j'ai une question mais je n'y arrive pas du tout, j'ai aucune idée de comment m'y prendre

démontrer que pour un triplet pythagoricien ( x^2+y^2=z^2) un des nombres est multiple de 3 (raisonnement par l'absurde)

Posté par
mathafou Moderateur
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 17:55

Bonjour,

un petit tableau de congruences (de restes de la division par 3) devrait aboutir rapidement

on peut résumer ce tableau en disant que si a est multiple de 3 alors a² est ???
et sinon le reste de la division de a² par 3 est ...
(du coup il n'y a que deux cas à considérer : multiple de 3 ou pas)

Posté par Profil EFIDBre : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 17:57

Hello,

Un nombre n divisé par trois donne un reste de 0, 1 ou 2, ou en symétrisant : -1, 0 ou +1. On note n = {3k - 1; 3k; 3k +1}. Ce qui veut dire que tout nombre peut s'écrire: 3k - 1 ou 3k ou 3k + 1.

Pour l'exercice que tu proposes, tu peux commencer par calculer le carré d'un tel nombre et l'écrire sous la forme 3p + r, dans chacun de ces trois cas, et regarder les différentes valeurs possibles de r.

Posté par
delaspe
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 17:59

mais on ne sait pas si les 3 nombres se suivent

Posté par
mathafou Moderateur
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 18:02

UN nombre peut s'écrire .. ou .. ou ..
comment un seul nombre pourrait "se suivrent" ???

Posté par
delaspe
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 18:09

je suis désolé mais là je comprend vraiment pas

Posté par
carpediem
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 18:14

salut

x^2 + y^2 = z^2 \iff x^2 = z^2 - y^2

1/ la première égalité est symétrique en x et y

donc

2/ il n"y a que deux cas :

soit y ou z est multiple de 3
soit y et z ne sont pas multiples de 3

...

Posté par
mathafou Moderateur
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 18:22

"mais là je comprend vraiment pas"

on veut te faire dire que n'importe quel nombre est
soit un multiple de 3,
soit un multiple de 3 plus 1
soit un multiple de 3 plus 2 (ou -1 c'est pareil)

et que alors son carré sera ... le calculer dans dans chacun des 3 cas
va y

ça c'est pour UN nombre

ensuite
on utilise ça pour lister les différents cas des carrés x², y² et z² indépendamment
(ou en les regroupant astucieusement comme dit carpediem

Posté par
delaspe
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 18:42

mais en les développant j'obtiens :
3k devient 9k^2 multiple de 3
3k+1 devient 9k^2+6k+1 qui n'est pas un multiple de 3  mais 3(3k^2+2k)+1
3k+2 devient 9k^2+12k+1 qui n'est pas un multiple de 3 mais 3(3k^2+4k)+1
du coup sa le prouve que si l'un des 3 trois termes s'écrit sous la forme 3k

et donc si on en 2 sous la forme 3k+1 et sous la forme 3k+2 sa ne fonctionne pas

Posté par
mathafou Moderateur
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 19:02

tes conclusions ne correspondent pas à ce qu'on veut en tirer

tes conclusions c'est ça : et rigoureusement rien d'autre.

si un nombre est multiple de 3 alors son carré est multiple de 3

si un nombre n'est pas multiple de 3 alors son carré est un multiple de 3 plus 1

maintenant et maintenant seulement qu'on a vu cette propriété en général sur les nombres et leurs carrés en général
on va l'utiliser pour disons au plus simple :

carpediem

2/ il n"y a que deux cas :

soit y ou z est multiple de 3 (et alors c'est directement fini sans calcul de quoi que ce soit)
soit y et z ne sont pas multiples de 3 (et alors on utilise ce qu'on vient de faire. pour en déduire quoi sur x ?)

Posté par
carpediem
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 19:06

ou alors on peut conclure que :

si x et y ne sont pas multiples de 3 alors x^2 + y^2 ne peut pas être un carré !!!

Posté par
delaspe
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 19:08

je suppose pour prouver que x est multiple de 3 mais je n'ai toujours pas compris est ce que c'est ce que l'on appelle le raisonnement par l'absurde ?

Posté par
carpediem
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 19:11

un raisonnement par l'absurde c'est supposer une proposition vraie puis en déduire quelque chose de faux ou contradictoire ...

ce qui prouve que notre hypothèse n'est pas vraie ...

Posté par
delaspe
re : triplet pythagoricien un des nombres est un multiple de 3 05-01-19 à 19:22

ok merci pour vos explication



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