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Trouver l'adhérence d'une partie
Bonsoir,
j'aimerais savoir s'il y a une (ou plusieurs) "méthode(s)" pour déterminer l'adhérence d'un ensemble donné. Mon problème vient essentiellement du fait que je ne sais pas par où commencer lorsque j'ai un énoncé comme celui ci
trouver l'adhérence de A :
A = {}
Bonsoir,
je suppose que tu cherches l'adhérence de dans
?
Déjà, on voit facilement que est dans
,
on pourrait alors se demander si tout point de [0,2] est limite d'une suite de points de .
Si c'est le cas vu que [0,2] est fermé, alors est l'adhérence de
.
D'accord
mais comment sait on que [0,2] est bien le plus petit fermé ?
bon après avoir plus réfléchi, je pense que l'adhérence de A, est .
On peut montrer que tout voisinage de 0 rencontre A.
Après il faudrait montrer que pour tout point x de [0,2] (qui est un fermé qui contient A) on peut trouver un voisinage de x qui ne rencontre pas A (mais je vois pas trop pour l'instant comment procéder).
et une petite démo sans avoir a trop mettre les main dans le cambouis
appelons C ={1/n n appartenant a N} U {0}
C est l'ensemble des point d'une suite convergente plus la limite de cette suite, c'est donc un compacte.
C*C est donc aussi un compacte.
dans ce cas si on note B ce que j'ai dit etre l'adhérence de de A, B est l'image de C*C par l'application (x,y)->(x+y) qui est continue. donc B est compacte, donc fermé.
et un element de B est evidement limite d'une suite d'element de A : 0 et la limite de la suite 1/n+ 1/n et 1/m est limite de la suite 1/m+1/n. donc B=adh A !
Bonsoir Ksilver,
joli démo, il y a juste un point que je ne comprends pas:
C est l'ensemble des point d'une suite convergente plus la limite de cette suite, c'est donc un compacte.
hum... c'est un résultat clssique, qu'on trouve souvent dans les cours sur la compacité : si tu prend une suite Un qui converge, et l ca limite, alors l'ensemble {l,U1,U2...,Un,...} est un compacte.
maintenant si tu ne connait pas ce résultat, la démonstration n'est certe pas tres compliqué, mais ca rend assez inutile ce que j'ai fait au poste d'avant (l'interet etait d'utiliser cela pour ne pas avoir a vraiment faire de la topologie quoi... )
Je crois qu'une des démonstrations repose sur le théorème de borel lebesgue vu en topologie de spé....
En tt cas merci à vous deux...
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