Bonjour,

En multipliant le numérateur et le dénominateur par (1-xe^-i, ton dénominateur devient réel, et le numérateur se simplifie. Tu pourras alors calculer facilement module et argument

Se servir de cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2 et sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)  pour simplifier les écritures

Bonjour , tout d'abord merci de ta réponse rapide , et puis j'ai fait comme tu as dit je suis arrivé à obtenir que le nombre complexe en question égale :
1-x² + i 2x.sin
1+x²-2x.cos

C'est vrai que maintenant pour trouver le module c'est assez facile il suffit de bien calculer , mais comment faire pour l'argument si tu pouvais me détailler un peu ça s'il te plait ?
Et encore merci pour ton aide .

Enfait juste pour ajouter un petit truc , c'est que d'après ta méthode voilà ce que j'ai trouvé comme module :

x⁴+2x²(2sin²-1)+1                      
x⁴-4x³cos+2x²(1+2cos²)-4xcos+1

Assez monstrueux non ? :p

Effectivement ça doit se simplifier par contre je pense
Mais bon c'est pas joli joli il doit y avoir une astuce pour aller plus vite je me penche dessus
(j'avoue que j'ai fait le bourrin en te disant de multiplier en haut et en bas par la même expression, ça marche à chaque fois mais bon c'est pas très beau )

Oui oui ça aurait été trop facile :p , alors tout le monde votre aide est toujours la bienvenue

Bon je te propose quelque chose
Je note z=xe^(i) et je note z| le conjugué de z

Tu multiplies en haut et en bas par (1-z|), et tu simplifies tout ça en utilisant zz|= |z|² (|z|=module de z)

Normalement tu devrais arriver à : (1-|z|²)/|1-z|² + i*2Im(z)/|1-z|²
Or |z|=x < 1 donc la partie réelle est positive.
On en déduit donc l'argument : arg = (partie imaginaire)/(partie réelle) = ....
ça se simplifie pas mal

j'ai oublié de dire que j'ai considéré x>0 ici pour pouvoir dire que c'est le module
si x<0, alors dans ce cas le complexe de départ est l'inverse de celui à chercher donc son module c'est l'inverse du modul trouver et l'argument l'opposé

Alors je t'ai bien suivi jusqu'à ce que t'arrives là :

On en déduit donc l'argument : arg = (partie imaginaire)/(partie réelle) = ....
ça se simplifie pas mal

Là je ne comprends pas vraiment , d'abord pourquoi l'argument est égale à cela ? Et puis tu parles bien de l'argument du nombre complexe qu'on cherche ? ( Pas celui de z ), et aussi quel est le module du nombre complexe recherché d'après tes résultats ?
Eh ben ça en fait des questions j'espère ne pas t'avoir mis dans la confusion :p

L'argument d'un nombre complexe représente l'angle que la représentation du complexe fait avec l'axe des abscisses.
Donc si la partie réelle est strictement positive, on a tan(arg) = partie im / partie re, puis arg = arctan(Im/Re).
Avec un dessin si tu préfères

image :

Ah oui je comprends mieux là , et puis cet argument et le module dont on parle c'est bien ceux du nombre complexe qu'on cherche n'est ce pas ? Puis on a quoi à la fin comme résultat pour l'argument et le module ?

Oui c'est bien celui qu'on cherche.
Pour le module j'avais trouvé il me semble.
Le module est toujours moche

Je crois que je vais paraitre un peu bête là mais t'as fait comment pour trouver le module sous cette forme ? ( Si tu pouvais développer s'il te plait :$ ) Et puis pour l'argument c'est quoi le résultat final ?

Non c'est moi qui suis bête pour le coup
C'est l'argument que j'ai donné pas le module
Le module est toujours compliqué je te l'écris si tu veux mais c'est moche

Oui oui vas y donne la forme que t'as trouvé pour le module , après cet exercice plus rien ne peut me paraitre aussi moche :p

Et puis t'as fait comment pour avoir l'argument sous cette forme ? :$

(sympa à écrire )

Sauf erreur

On avait (1-|z|²)/|1-z|² + i*2Im(z)/|1-z|²

Donc arg = Arctan ( (2Im(z)/|1-z|²) / ((1-|z|²)/|1-z|²) ) = Arctan ( 2Im(z)/(1-|z|²) )
Et comme Im(z)=xsin() et |z|=x,
On a arg = Arctan ( 2xsin()/(1-x²) )

Tiens j'avais oublié un 2

Proprement :

Bon sauf erreur de calcul encore une fois, le raisonnement est là

C'est bon c'est ce que j'ai eu aussi:p une touuuuute dernière chose s'il te plait pour le module que t'as eu peux tu détailler juste comment t'as fait pour obtenir le dénominateur que tu as obtenu au final ?

Le dénominateur c'est le développement de
|1-z|² = |1-xcos()-xsin()|²
       = (1-xcos())² + x²sin²()
       = 1 - 2xcos() + x²cos²() + x²sin²()
       = 1 - 2xcos() + x²(cos²() + sin²())
       = 1 - 2xcos() + x²

Mais t'aurais pas oublié un " i " par hasard ici :
|1-z|² = |1-xcos()-xsin()|²

Entre le x et le sin ?

Si j'ai oublié le i
Ce qui ne change pas la suite du calcul

Ouii voilà c'est vraii , merciiii énormément pour ton aide et tes efforts c'est vraiment très sympa , maintenant reste plus qu'à espérer que tout cela est juste :p
Encore merciii à toii et à très bientôt

Y a pas de quoi

Bonne nuit

Me voilà à nouveau :p , alors j'ai vérifié l'exercice avec mon professeur et il a remarqué quelque chose qu'on a oublié de prendre en compte c'est que ici :

Je ne vois pas le rapport avec la partie imaginaire, ce qui est important c'est seulement que la partie réelle soit positive ce qui est la cas

C'est parce que tu vois dans ton dessin par exemple tu as pris la partie imaginaire positive , supposons qu'elle soit négative on n'aura pas le même résultat , et pour passer de la tangente à l'arctangente il faut que l'angle soit compris entre ]-/2,/2[
Tu vois donc ça change vraiment

Si la partie réelle est positive, l'angle sera toujours compris entre -Pi/2 et Pi/2

Oui c'est pas faux en tout cas moi je ne comprends vraiment pas pourquoi il dit que c'est faux :p

Moi non plus mais je vais me pencher sur la question, il a pas dû dire ça au hasard

Enfait PloufPlouf06 toi t'es en quel niveau ?

J'ai fini ma prépa l'année dernière, je suis en école d'ingénieurs

Ah c'est top ça et t'as intégré quelle école d'ingénieurs ?

Je suis ICNA à l'ENAC si ça t'aide

Ah ben c'est vraiment trop top ça l'ENAC me fascine aussi :p sérieux , dis moi si ça te dérange pas trop , y'a t-il un moyen par lequel je peux te joindre ( mail ) j'aurais des petites questions à te poser

Bien sûr pas de problème mon mail: _{* Tom_Pascal > dans ton propre intérêt, pas d'email sur le forum STP. *}

Ah ton mail a été masqué , il n'y aurait pas d'autres moyens ? Genre une messagerie sur ce forum ou un truc ?

Effectivement
Je ne vois pas comment te le donner du coup. Un modérateur a une idée ?

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