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Niveau Licence Maths 1e ann
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Trouver la formules de probabilité

Posté par
Adrien651
18-06-21 à 19:56

Bonjour,

Suite à une discussion qui est parti un peu trop loin nous nous somme posé une question de proba qui au final est très complexe a résoudre :

N objets (tous différents/aucun identique) sont placés aléatoirement dans 2N emplacements (avec 1 seul objet par emplacement maximum). N prédictions sont réalisé (1 prédiction pour chaque d'objet). La prédiction est bonne quand l'emplacement est le bon. la prédiction étant généré aléatoirement

Quelle est la probabilité P(a) que au moins une prediction soit bonne ?


c'est très dur, rien que pour n=2  j'ai du faire ceci :
lettre = objet
position = chiffre

12 possibilités (positionA,positionB)

1,2
1,3
1,4
2,3
2,4
3,4
2,1
3,1
4,1
3,2
4,2
4,3


16 prédictions
1,1
2,2
3,3
4,4
1,2
1,3
1,4
2,3
2,4
3,4
2,1
3,1
4,1
3,2
4,2
4,3

p(a /sachant la prediction)
0.5
0.5
0.5
0.5
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12
5/12

moyenne = 0.4375

Si quelqu'un est capable de faire une formule avec n, j'en serais reconnaissant. La seule chose que je peux anticiper c'est que p(a) tend vers 0.5

merci pour votre aide
Adrien

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
flight
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 20:50

salut

quelques questions pour que ce soit plus clair , si on prend deux objets  o1 et o2 on veut pouvoir les placer dans 4 emplacement s
e1,e2,e3,e4  à raison de un objet maxi par emplacement et on cherche la proba que o1 soit dans e1 et que o2 soit dans e2 ?
c'est bien ca

Posté par
flight
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 20:50

?

Posté par
flight
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 20:57

je vois ...  si on emet la prédiction suivante :
o1 -->e3
o2 -->e4
et on cherche P(au moins une prediction bonne ) = 1- P( 0 prediction bonne )= 1-(1- P(o1 dans e3  U o2 dans e4)) = P(o1 dans e3)+P(o2 dans e4)-P(o1 dans e3 et o2 dans o4) = 3/4*3 + 3*4*3 - 1/4*3 = 5/12

est ce bien ca pour cet exemple ?

Posté par
ty59847
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 21:01

Tu peux simplifier l'énoncé, sans que ça ne change rien au raisonnement.
Je fais une prédiction.
Du coup, je colle des petites pastilles papier virtuelles sur tous les emplacements. Je colle un 1 sur la case que j'ai prédite pour l'objet 1, un 2 sur la case que j'ai prédite sur l'objet 2 .... etc, et les N autres cases, je les numérotes N+1 à N avec mes petits bouts de papier.

Et la question, c'est : quelle est la probabilité qu'un moins un objet tombe dans l'emplacement qui porte son n°.

Et dans les calculs de probabilité, quand il y a le mot 'au moins' il faut toujours envisager de calculer la proba contraire : quelle est la proba qu'aucun objet tombe dans l'emplacement qui porte son n°.

Posté par
pete01
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 21:15

Soit O l'ensemble fini d'objets de cardinal n.
Soit E l'ensemble d'emplacements de cardinal 2n.

Le nombre d'arrangements possibles des objets dans les emplacements à raison d'un objet au maximum par emplacement est le  nombre d'injections de O dans E c'est à dire  A^n_{2n}=\frac{2n!}{n!}=(n+1)\cdots 2n.

Tous ces arrangements sont équiprobables avec la probabilité

P(I)=\frac{1}{(n+1)\cdots 2n}

Une injection étant réalisée évaluons la probabilité d'une détection correcte P(1|I). On a évidemment
une chance sur 2n qu'elle se réalise p=P(1|I)=\frac{1}{2n} . Cette détection est notre expérimental d'Euler.

Il s'ensuit que la probabilité de réaliser k détections  correctes après  n prédictions répétées suit une loi de probabilité binomiale B(n,p).

P(k|I)=C^n_k p^k (1-p)^(n-k)

La probabilité recherchée s'écrit donc:

P(k)=P(k|I) P(I)= \frac{1}{(n+1)\cdots 2n}C^n_k \frac{1}{2n}^k (1-\frac{1}{2n})^{(n-k)}

C^n_k=\frac{n!}{(n-k)! k!} est le coefficent binomial.

Posté par
malou Webmaster
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 21:50

Bonsoir
il me semble que dans ce dernier message les coefficients binomiaux sont écrits "à l'envers"
C^k_n et non ce qui est écrit

Posté par
pete01
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 22:03

Bonsoir malou, effectivement par rapport à l'usage établi oui, mais dans la mesure où   n\geq k  et qu'en plus j'ai défini explicitement ma définition dyslexique, il n'y a ce me semble aucune ambigüité

Posté par
pete01
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 22:27

Erratum: Je suis allé trop vite dans  la prise en compte de la loi binômiale dans le processus aléatoire composé. Je corrige mes erreurs de dyslexie fondamentelles et d'écriture dans mon message précédent. Voici la bonne formule.

Soit O l'ensemble fini d'objets de cardinal n.
Soit E l'ensemble d'emplacements de cardinal 2n.

Le nombre d'arrangements possibles des objets dans les emplacements à raison d'un objet au maximum par emplacement est le  nombre d'injections de O dans E c'est à dire  A^n_{2n}=\frac{2n!}{n!}=(n+1)\cdots 2n .

Tous ces arrangements sont équiprobables avec la probabilité

P(I)=\frac{1}{(n+1)\cdots 2n}

Une injection I étant réalisée évaluons la probabilité d'une détection correcte 
 \\ P(1|I). On a évidemment une chance sur 2n
qu'elle se réalise: P(1|I)=\frac{1}{2n} .

La probabilité d'obtenir une détection correcte est donc
p = P(1) = P(1|I) * P(I) = \frac{1}{(n+1)\cdots 2n} \frac{1}{2n}
Cette détection est notre expérimental d'Euler.

Il s'ensuit que la probabilité de réaliser k détections  correctes après  n prédictions répétées suit une loi de probabilité binomiale B(n,p).

P(k)=C^k_n p^k (1-p)^{(n-k)}


La probabilité recherchée s'écrit donc:

P(k)= C^k_n \frac{1}{2n}^k\frac{1}{(n+1)\cdots 2n)}^k (1-(\frac{1}{(n+1)\cdots 2n)}\frac{1}{2n})^{(n-k)}

C^k_n=\frac{n!}{(n-k)! k!}
est le coefficient binomial.

On vérifiera que la somme des P(k) de 0 à l'infini vaut 1 ce qui n'était pas le cas dans mon post précédent.  Sorry

Posté par
pete01
re : Trouver la formules de probabilité 18-06-21 à 22:41

Pour conclure (on va y arriver !!!) La probabilité recherchée s'écrit :

P(k)= C^k_n \frac{1}{2n}^k\frac{1}{(n+1)\cdots 2n}^k (1-(\frac{1}{(n+1)\cdots 2n}\frac{1}{2n}))^{(n-k)}

C^k_n=\frac{n!}{(n-k)! k!} est le coefficient binomial.



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