Bonjour,
appelons A ta matrice

Pour trouver Ker(A), tu résouds AX=0 où X est une matrice colonne

Im(A)=Vect(C1,C2,...,Cn) où les Ci sont les colonnes de A

Si je comprends bien, ensuite tu ne vois pas la différence entre un ensemble et une de ses bases ?
Disons pour faire simple qu'une base d'un espace E est un ensemble de vecteurs de E qui permettent par combinaison linéaire de former tous les autres vecteurs de E (et cette combinaison linéaire est unique)

Est ce que ça te suffit ?

merci beaucoup pour la réponse.
J'ai enfin compris la différence avec la base.
Cependant pour trouver le noyau et l'image, est-ce qu'il faut échelonné A ? Parce que souvent notre chargé de TD échelonne la matrice et après il en déduit le noyau et l'image et c'est là que j'ai un problème !

Pour Ker(A), soit on echelonne la matrice, soit on écrit directement le système obtenu et on le résout, ce qui revient à peu près à la même chose

Pour Im(A) la méthode me parait surprenante (si échelonner veut bien dire trianguler comme je le pense)
A moins que les opérations ne soient faites sur les colonnes et pas sur les lignes, car sur les lignes ça me parait faux, moi personnellement je ne fais pas comme ça
Si tu peux écrire un exemple détaillé de cette "échelonnage" (pour une matrice de taille 3 afin que ce ne soit pas trop long), ça m'intéresse d'y jeter un coup d'oeil !
Comme je te l'ai dit, je préfère travailler avec Vect des colonnes, et voir si la famille obtenue est libre ou pas.
Je pourrai reprendre l'exemple que tu me donnes avec mes méthodes pour que tu puisses comparer

Effectivement en relisant mon cours et mes exos, j'ai bien vu qu'on n'échelonnait pas la matrice pour trouver l'image. Désolé autant pour moi.

Tu parles de regarder si la famille est libre ou pas pour trouver l'image de la matrice. Peux-tu me donner des exemples stp en me détaillant un peu ta méthode.

2 exemples
Soit A la matrice :
1 1 2
1 2 3
2 3 5
Alors Im(A)=Vect(C1,C2,C3) où les Ci sont les colonnes de A
Mais ici on peut remarquer que C3=C1+C2, donc la famille (C1,C2,C3) n'est pas libre et on peut retirer C3
On obtient Im(A)=Vect(C1,C2), ces 2 colonnes ne sont pas proportionnelles donc forment une famille libre, et (C1,C2) est donc une base de Im(A)

Soit B la matrice :
1 2 3
2 3 1
0 0 1
Alors Im(B)=Vect(C1,C2,C3), et ici on peut prouver que la famille (C1,C2,C3) est libre :
si tu prends 3 réels x, y, z tels que xC1+yC2+zC3=0, alors tu obtients un système qui te donne x=y=z=0
Donc la famille est libre, c'est une base de Im(B)

ok ok ok. Merci beaucoup.
J'y vois beaucoup plus claire maintenant.
Encore un gros merci.