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Trouver un nombre par une limite

Posté par
Nathan 25-07-15 à 17:11

Bonjour,

Alors que je prépare mon examen, je me retrouve bloqué sur un problème. En fait je ne sais pas comment on aborde ce problème :
Déterminez a \in \mathbb{R} tel que pour x positif, \frac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3} = x^2 + a + R(x) avec $\lim\limits_{x \to 0}R(x)$ = 0

Concrètement, je me suis dit que s'il n'y avait pas plus de détail pour la fonction R(x), c'est qu'il fallait obligatoirement utiliser les limites dans la résolution.

Donc je me suis dit que par la propriété de la somme des limites, je devrais techniquement trouver les limites à gauche et à droite de l'égalité. Seulement c'est une idée sans espoirs puisqu'il est évident que la limite de la fraction de gauche en l'infini est l'infini (méthode de la division par X au numérateur et dénominateur).
A droite, par la propriété de la somme des limites on peut diviser la limite en trois limites, à savoir celles de X², a et R(x). Puisqu'on a déjà cette dernière, je m'étais dit que je pourrais soustraire la limite de la variable à la limite de la fraction pour donner la limite de a et ainsi trouver ...

Seulement je vois bien que c'est stupide de partir sur ce chemin puisque ... Et bien on a deux limites à l'infini qui s'annulent, une limite qui est nulle et il reste celle de a, bref mon idée n'aide en rien. Je sais que les limites en l'infini de la fraction de gauche et de x² valent l'infini, je sais que la limite de la fonction inconnue vaut 0, en toute logique la limite de a devrait également valoir 0 (pour l'égalité) mais la solution (et un peu d'intuition parce que ça semble trop facile) dit que non.

Donc je suis persuadé qu'il faut utiliser les limites et leurs propriétés, mais je ne comprends pas plus.

Pourriez-vous m'aiguiller sur la démarche pour aborder un exercice comme cela ? Il y a bien des exercices dans le manuel mais j'ai l'impression que celui-ci est une question plus "avancée" parce que ceux du manuel n'indiquent que des limites simples sans cette question de "Déterminez a tel que ..."

Merci bien

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:25

Bonjour,

Essaye une division euclidienne.

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:28

Pardon, j'ai commis une erreur (le principe est bon), je vais reprendre.

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:31

\frac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3}=x^2+1+\underbrace{\frac{\sqrt{2}-3}{x+3}}_{=\mathcal{R}(x)}

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:32

je ne sais pas ce qu'il s'est passé sur le site ???? (un message envoyé après un autre est arrivé avant le premier (?) )

Donc ne tiens pas compte de mes messages de 17:28 et 17:31

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:33

\frac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3}=x^2+\sqrt{2}-\underbrace{\frac{3\sqrt{2}}{x+3}}_{=\mathcal{R}(x)}

Posté par
Nathanre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:34

Bonjour !

Pourriez-vous un peu développer l'idée ? Je crains que ça ne soit pas suffisant pour que mon pauvre petit cerveau comprenne :s

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:36

C'est incroyable ça, mes messages n'arrivent pas dans le même ordre chronologique que mes envois !!!

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:37

Le bon développement est celui-ci ==> \frac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3}=x^2+\sqrt{2}-\underbrace{\frac{3\sqrt{2}}{x+3}}_{=\mathcal{R}(x)}

Posté par
Nathanre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:42

Ok ! Pas de problème pour les messages ça reste compréhensible.

Bon, en revanche, y'a pas une étape entre ? Ou bien si carrément c'était possible d'avoir une petite "recette" étape par étape.

Parce que là j'ai compris que la réponse devait être racine de 2, mais je ne vois pas d'où sort la valeur que prend R(x) chez vous.
Enfin si de base ils donnaient la valeur de a, je comprendrais que la valeur de R(x) soit trouvée (après tout c'est qu'une égalité à rendre) mais là puisqu'il y a deux valeur manquantes, je ne saisis pas comment vous faites pour les trouver simultanément ...

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 17:47

\frac{x^3+3x^2+x\sqrt{2}}{x+3}=\frac{(x+3)(ax^2+bx+c)+x\sqrt{2}}{x+3}

Développe et identifie terme à terme.

Si tu ne vois pas, refais moi signe.

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 18:13

Ne tient pas compte de mon dernier message de 17:47, il y a une erreur de frappe.

Es-tu d'accord que tu peux écrire que :

\frac{x^3+3x^2+x\sqrt{2}}{x+3}=\frac{(x+3)(ax^2+bx+c)+d}{x+3}

Posté par
Nathanre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 18:26

alooors ... même si je ne vois pas où vous voulez en venir, je pense comprendre cela.

Simplement une factorisation avec des constantes indéfinies et le "d" est là pour compenser le "reste" ?

Posté par
Priamre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 19:24

La fonction donnée pouvant s'écrire  x² + (x2)/(x + 3) ,
il me semble qu'on pourrait donner comme solution
R(x) = (x2)/(x + 3) (dont la limite en  0  est bien égale à  0)
et  a = 0 .

Posté par
Nathanre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 19:31

Salut,

Merci mais je crois qu'il y a erreur Priam. En vérifiant la réponse de Jedoniezh je suis également sûr que c'est a = sqrt(2) et non 0

En revanche, même si avoir la réponse aide, je n'ai toujours pas compris la marche à suivre

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 20:47

Erreur de frappe, je reprends :

\text{ avec }x\ne -3

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 20:47


\frac{x^3+3x^2+x\sqrt{2}}{x+3}=\frac{(x+3)(ax^2+bx+c)+d}{x+3}

En simplifiant et en développant à droite :

x^3+3x^2+x\sqrt{2}=(x+3)(ax^2+bx+c)+d}\text{ avec }x\ne 3

x^3+3x^2+x\sqrt{2}=ax^3+x^2(3a+b)+x(3b+c)+(3c+d)

En identifiant terme à terme :

\left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ 3a+b=3\\3b+c=\sqrt{2}\\3c+d=0\end{array}  \Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ b=0\\c=\sqrt{2\\ d=-3\sqrt{2} \end{array}

donc :

\frac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3}=\frac{(x+3)(ax^2+bx+c)+d}{x+3}=ax^2+bx+c+\frac{d}{x+3}=x^2+\sqrt{2}-\underbrace{\frac{3\sqrt{2}}{x+3}}_{=\mathcal{R}(x)}

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 20:51

In version chronologique encore des 2 derniers messages ....  

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 21:42

Bonjour
je suis presque certaine que Nathan a fait une erreur en donnant son énoncé, erreur que Jedoniezh a rectifié inconsciemment par habitude de ce type de situation : la solution qu'il donne ne vérifie pas la consigne (que je pense erronée) $\lim\limits_{x \to 0}R(x)$ = 0...

Posté par
lafol Moderateurre : Trouver un nombre par une limite 25-07-15 à 21:44

Sinon, \dfrac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3} = x^2 + a + R(x) revient à \dfrac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3} - x^2 = a + R(x)

or \dfrac{x^3 + 3x^2 + x\sqr{2}}{x+3} - x^2 = \dfrac{x^3 + 3x^2 +x\sqrt{2}-x^3-3x^2}{x+3} = \dfrac{x\sqrt{2}}{x+3}

une fois qu'on saura à quel endroit la limite de R doit être nulle, ce n'est pas compliqué : calculer la limite a de \dfrac{x\sqrt{2}}{x+3}, et poser R(x) = \dfrac{x\sqrt{2}}{x+3}-a

Pas besoin de se prendre la tête avec des divisions euclidiennes ou des systèmes d'équations ...

Posté par
Nathanre : Trouver un nombre par une limite 26-07-15 à 13:43

Bien le bonjour !

Rhô saperlotte, lafol a bien raison je me suis trompé dans l'exercice. La limite nulle n'est pas en x->0 mais bien à l'infini positif !

Donc en fait si je résume, je peux trouver a en faisant la démarche suivante :

- On passe à gauche tous les X
- On simplifie la fonction et ainsi on arrive bien sur \frac{x\sqr{2}}{x+3}, c'est très simple (je l'avais pourtant pas vu Oo)
- Et c'est seulement ensuite (et non pas dès le début comme j'ai eu l'erreur de le faire) qu'on hausse aux limites des deux côtés. Par la propriété de la somme des limites, on peut séparer a+R(x) en deux limites. Par l'énoncée on sait que \lim_{n\to\infty} R(x) = 0. Donc par simple égalité, les deux limites restantes doivent s'annuler.
- On calcule la limite en l'infini de la fraction (pour ce faire, je divise numérateur et dénominateur par le terme du plus haut degré du dénominateur, X, ce qui donne \sqr{2}*frac{x}{x+3}, par la propriété du produit des limites on sépare encore, ce qui fait une limite de sqr{2} par une limite de 1.
- a étant une constante, sa limite doit être elle-même, ce qui fait que a = \sqr{2} pour que l'égalité soit correcte !

Je sais que ce n'est pas "mathématiquement rédigé" mais sur le forum j'ai un peu de mal et j'ai préféré écrire la "recette" que je dois réaliser pour cet exercice.

Merci pour le gros coup de pouce ! Je pense que du coup c'est bon, mais si vous voyez une erreur faites-moi signe ! Merci encore vous n'imaginez pas comme vous m'aidez !

Posté par
Nathanre : Trouver un nombre par une limite 26-07-15 à 13:45

EDIT : Désolé, j'ai oublié l'antislash dans les deux formules du quatrième point :s C'est donc bien \sqr{2}*\frac{x}{x+3} et \sqr{2}

Posté par
Jedoniezhre : Trouver un nombre par une limite 26-07-15 à 14:10

Merci Lafol,

Effectivement, je ne l'avais pas vu celle-là ...


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