salut les vecteurs (0,2,1) , (-1,0,1) conviennent

ainsi que les vecteurs (1,4,1) , (0,2,1)  et egalement (1,4,1), (-1,0,1)

Merci de ta réponse
Je suppose que le fait de pouvoir garder ces 3 "paires" de vecteurs comme bases est spécifique à cet exercice ?

Il faudrait alors vérifier que chaque "paire" de vecteurs restants contient deux vecteurs libres et donc vérifier ça avec 3 systèmes de deux équations?

bonjour
comment on va faire?
merci

On doit trouver des valeurs a et b telles que :
(1,4,1)=a(0,2,1)+b(-1,0,1)
|a=2
|b=-1

(0,2,1)=a(1,4,1)+b(-1,0,1)
|a=1/2
|b=1/2

(-1,0,1)=a(0,2,1)+b(1,4,1)
|a=-1
|b=2

Comme dans chaque cas, on trouve des valeurs pour a et b, on peut considérer qu'il y a combinaison linéaire entre les 3 vecteurs à chaque fois.
Mais par exemple, quelle réponse devrait-on trouver pour a et b afin d'exclure le fait que 2 vecteurs forment une base?

la base choisie doit etre libre et generatrice

Pour qu'une partie B d'un espace vectoriel E soit une base de E, il faut et il suffit que tout vecteur de E s'exprime de façon unique, par une combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs de E.( c'est que t'a fait)

en + on verifie aussi que que pour le systeme de vecteur choisi(par exemple e1 et e2) soit libre
soit à verifier ae1 + be2 =0  implique  a=b=0

Donc si j'ai bien compris :
On regarde d'abord si les 3 vecteurs donnés ((1,4,1) , (0,2,1) et (-1,0,1)) sont libres. Si c'est le cas, ils forment automatiquement une base de R³ (vu qu'il y a 3 vecteurs).

Sinon, on choisit arbitrairement 2 de ces vecteurs (disons (0,2,1) et (-1,0,1)) et on vérifie qu'ils forment une combinaison linéaire avec le 3e (on doit trouver a et b différents de 0).
(1,4,1)=a(0,2,1)+b(-1,0,1)
|a=2
|b=-1

Ensuite, on regarde si ces 2 vecteurs sont libres : donc on doit trouver x=y=0 avec x(0,2,1)+y(-1,0,1)=(0,0,0)
C'est bien ça?

Je me permets juste de faire remonter le topic tout en vous souhaitant une heureuse année 2011!