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trouver une forme trigo, cos et sin 5pi/12
Bonsoir,
je suis bloquée dans un exercice, je connais par avance la réponse mais je ne vois pas comment trouver le résultat.
Voici le problème:
1) déterminer la forme algébrique puis trigo du complexe : Z = (-1 + i sqrt(3)) / (3-4i)
2) en déduire la valeur exactes de cos 5pi/12 et sin 5pi/12
Mon travail:
1)
par le conjugué je trouve que la forme algébrique est
z = ((sqrt(3)-1) /2) + i ((sqrt(3)+1) /2)
ce résultat est sûr
forme trigo:
module z = sqrt(2)
je factorise la forme alg par le module
z= sqrt(2) * [ ((sqrt(3)-1) /sqrt(2)*2) + i ((sqrt(3)+1) /sqrt(2)*2) ]
je n'arrive pas à me ramener à une forme basique pour résoudre mon équation trigonométrique
par la calculatrice,je sais que l'argument vaut 5pi/12
mon prof m'a dit d'utiliser la formule d'argument de quotient, du coup j'ai pensé à utiliser la forme en quotient proposée dans l'enoncé. j'utilise la formule argument de quotient :
arg (-1 + i sqrt(3)) / (3-4i)
= arg ((-1 + i sqrt(3)) - arg ((3-4i)
= pi/3 - pi/4
5pi/12 !
Merci par avance de m'indiquer où est se situe mon erreur car ce problème m'énerve vraiment, j'ai passé des heures sur cette question bête!
Bonjour,
bien entendu il faut tout d'abord corriger l'erreur de recopie qui perturbe fortement la lecture ici :
Z = (-1 + i sqrt(3)) / (
je soupçonne que ce devrait être
Z = (-1 + i sqrt(3)) / (
tout à la fin :
arg ((-1 + i sqrt(3)) = pi/3, moi je dirais plutôt 2pi/3 ...
l'autre je ne peux pas me prononcer à coup sûr, vu l'erreur de recopie ...
en tout cas si le dénominateur d'origine est bien (1+i) ça donne effectivement 2pi/3 - pi/4 = 5pi/12
Merci beaucoup!
Oui je me suis bien trompée en recopiant, la forme en quotient proposée dans l'énoncé c'est bien Z = (-1 + i sqrt(3)) / (1+i)
et effectivement, petite erreur de calcul, c'est 2pi/12
pour trouver l'argument de ( -1 + i sqrt(3)) et (1+i) j'ai du rechercher leur forme trigo, je trouve cette méthode un peu longue et ce qui me surprends c'est qu'en cours on n'avait encore jamais utilisé cette méthode (utiliser les arguments de la forme en quotient de l'énoncé pour trouver la forme trigo finale)
Pour trouver la forme trigo, je n'aurai pas pu me débrouiller avec ma forme algébrique ? (car d'habitude c'est comme ça que l'on fait, on divise le X et le Y de la forme alg par le module et on trouve ainsi l'argument)
merci de m'éclairer 
si tu sais "par avance" que cos(5pi/12) = etc, oui.
sinon, bonne chance avec ta forme algébrique.
En passant par le quotient des deux morceaux séparément, cela permet de démontrer que ces valeurs sont les cos et sin 5pi/12, et cela fait précisément l'objet de la dernière question :
"2) en déduire la valeur exacte de cos 5pi/12 et sin 5pi/12"
si tu "en déduis" avant même de faire cette déduction parce que tu as "triché" en employant un logiciel de calcul formel qui fait cette démonstration à ta place, tu n'as pas fait l'exo.
sinon écrire que" l'argument est ", ça te fait une belle jambe tiens. et ça ne répond justement pas à la question 1)
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