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ts nombre complexe
Bonjour, ej sèche...
Soit trois nombres z1, z2 et z3 qui ont pour produit .(27/64)i . leurs
modules sont en progression géométrique de raison 1/4, leurs arguments
sont en progression arithmétiques de raison pie/3 . De plus, z1 a
un arguments dans l'intervalles ]0, pie/2[. Déterminer z1, z2
et z3.
j'ai totu d'abord "transcrit" les données:
z1 * z2 * z3 =(27/64)i
(1/4)^|z|
et enfinpour les arguments: pie/3 = argz1 par exemple doncarg z2
= pie/3 + pie/3
Bref je crois que je mélange un peu les suites en transrcrivant l'énoncé...
merci
posons arg(z1)=A1
alors arg(z2)=A1+pi/3
et arg(z3)=A1+2 pi/3
arg(z1.z2.z3)=arg(27/64i)=pi/2 (c'est un imaginaire pur)
or arg(z1.z2.z3)=arg(z1)+arg(z2)+arg(z3)=3A1+pi
donc 3A1+pi=pi/2 + 2 k pi (toujours ce truc!!! de 2 k pi je sais c chiant)
donc 3A1= - pi/2 + 2 k pi
A1= - pi/6 + 2 k pi/3
et pour avoir A1 dans (0,pi/2) on prend k=1 et alors A1= pi/2
pour les modules
notons M1 lemodule de z1
M2=M1/4
et M3=M1/16
module(z1z2z3)=module(27/64i)=27/64
or module(z1z2z3)=M1.M2M3=M1^3 / 64
d'ou
M1^3=27 dou M1=3
finalement
z1=(3)e(i pi/2)=3i
z2=(3/4)e( 5 i pi/6)
z3=(3/16)e(7 i pi/6)
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