Bonjour,

ça dépend de ce que tu appelles "division euclidienne" !!

ici il faudrait trouver des polynomes en n : q(n) er r(n) avec
n³+8 = q(n)*(n²+8) + r(n)
et degré de r(n) < 2 (strictement inférieur au degré de n²+8)
mais ça ne sera pas fini !!
c'est comme pour l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD

on peut aussi raisonner "de proche en proche" directement :

n²+8 divise n³+8 si et seulement si il divise (n³+3) - (...)(n² + 8)
que faut il mettre dans les "..." pour améliorer la situation ?
et ensuite ? continuer sur le même principe ?

** il divise (n³+8) - (...)(n² + 8) faute de frappe

En procédant de proche en proche j'ai ça :
n² + 8 | n³+8 -1(n²+8)
                                        | (n³-n²)-n(n²+8)
                                        | n²-8 + n² + 8
                                        |8(1-n)
y'a-t-il d'autres simplification possibles ? toutes mes autres tentatives étaient un échec.. je tournais en rond..
Sinon j'avais cette idée mais elle me semble un peu tirée par les cheveux...:
n² + 8 | n³+8 -10(n²+8)
                                       | n³+8 - 10 n² - 80
                                       | n³ - 10 n² - 72
                                       | n²(n - 10) - 72
ce qui semble être une combinaison linéaire .... Il faudrait donc que  n²+8 divise 72 et n²(n - 10) ? Les seuls solutions valables dans ce cas sont 0, 1 et 4
En ce qui concerne la première méthode je ne sais pas vraiment comment m'y prendre... commencer par exprimer r et q en fonction de n ?

quand on arrive à n^2 + 8 divise 8(n - 1)

alors remarquer que si a divise b alors a < b ... (ou a = b bien sur)

rien compris à tes calculs, vu que tu mélanges deux méthodes différentes :
la division et les combinaisons linéaires.

une division c'est ça sans bidouilles ajoutées en plus

n³+8 | n2+8
en n³ combien de fois n², il y va une fois

n³ + 8 | n²+8
n³ + 8n | n
-8n + 8

reste -8n+8

n²+8 doit donc diviser -8n+8

avec les combianisos linéaires :
on peut mettre des trucs avec "n" dedans comme coefficient de la combinaison linéaire et pas seulement des constantes.
l'intérêt est de faire disparaitre les cubes et de faire baisser le degré de la chose ...
mais ça revient exactement à une division sans le dire (sans utiliser une division de polynomes pas vues au programme)
n²+8 divise n³+8 si et seulement si il divise la combinaison linéaire n³+8-n(n²+8) = -8n+8

on retrouve exactement le même résultat.

pour continuer une idée est de s'intéresser au PGCD de n²+8 et de -8n+8
et de façon plus générale à leurs diviseurs communs

c'est à dire que on recommence en cherchant une combinaison linéaire qui va faire disparaitre les carrés
ainsi tout diviseur commun à n²+8 et à -8n+8 sera un diviseur de 8(n²+8) + n(-8n+8) = ...

etc

et au final le PGCD de n²+8 et n³+8 doit être n²+8 lui-même pour que n²+8 divise n³+8

mathafou
Mais peut-on mélanger les combinaisons linéaires entre-elles ? C'est-à dire :
(je vais essayer de faire les calculs les plu clairs possible)
comme n²+8 divise -8n + 8 et n²-8 divise 8(n²+8)
n²+ 8  divise la combinaison linéaire suivante : n(-8n+8)+8(n²+ 8 )
n²+ 8 divise 8n + 64
De plus n²+ 8  divise -8n + 8
alors: n²+ 8 divise la combinaison linéaire suivant : (-8n+8)+(8n+64) (Cette ligne est-elle possible ?)
n²+ 8 divise 72
Il ne reste alors plus qu'à calculer les différents n possible et de garder seulement ceux qui sont solutions du problème

Pour la méthode de carpediem attention que il faut aussi examiner 8-8n
(si n < 1, 8n - 8 est < 0 )

en faisant des soustractions et combinaisons linéaires ou autre calculs du même genre on est passé dans par inadvertance.

et pour n = 1 n'importe quel nombre "divise 0" (quotient nul et reste nul)

pour le PGCD laisse tomber ça reviendra au même au final et la méthode de carpediem est plus efficace.

ça marche merci beaucoup a vous deux

de rien