Bonjour,

je suis d'accord avec la première partie de ta démo, mais ya un truc que je pige pas là:

Qu'est ce que tu veux dire quand tu écrit ça:
"{ (C(n)) et (D(n)) | n € N} = {n € N }" ???

Désolé si j'ai posé une question stupide, en ce moment c la loi des séries.


Ayoub.

En fait, je veux dire qu'en prenant l'ensemble des nombres pairs (C(n)) et l'ensemble des nombres impairs (D(n)), alors on a l'ensemble des nombres de N.

Emilie

Je suis d'accord avec ta démo, sauf que j'aurais qd même précisé que:
Pour tout 2p > N,  u(2p)€V et pour tout 2p+1>N, u(2p+1)€V, même si ca paraît évident.
après j'aurai écrit "{ (C(n)) et (D(n)) | n € N} = {n € N }"

Mais bon, c reste une opinion, et non un avis.
En principe, c bon.


Ayoub.

ok, super merci.

D'autre part,

est-ce que si u converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l ?

Je dois aussi prouver que si (un) converge vers l, alors l est valeur d'adhérence de (un) et elle est unique.

Est-il possible de le démontrer sans utiliser le fait que la limite d'une suite extraite est valeur d'adhérence de (un) ? (car je dois le prouver après...)

Emilie.

Bonjour,

Quitte à chipoter...

On veut montrer que :
pour tout voisinage V de l, il existe un entier naturel N tel que, pour tout n > N, u(n) € V

Soit V un voisinage de l. << il me semble important de commencer comme cela.

(u(2n)) tend vers l, donc il existe un entier naturel N1 tel que, pour tout n > N1, u(2n) € V
(u(2n+1)) tend vers l, donc il existe un entier naturel N2 tel que, pour tout n > N2, u(2n+1) € V

Donc, pour tout n > max(2N1, 2N2+1), u(n) € V

CQFD

Nicolas

oui ça paraît mieux que mon histoire d'ensembles égaux...
A la fin, tu conclus par
u(n) € V.
Est-ce en fait : u(n) € l'intersection de V et V qui est égale à V évidemment ?!

Pourquoi cette histoire d'intersection ?

Tu as écrit :

1) (u(2n)) tend vers l, donc il existe un entier naturel N1 tel que, pour tout n > N1, u(2n) € V
2 )(u(2n+1)) tend vers l, donc il existe un entier naturel N2 tel que, pour tout n > N2, u(2n+1) € V

3 ) Donc, pour tout n > max(2N1, 2N2+1), u(n) € V



L'intersection me semble une ligne intermédiaire entre 1)2) et 3).
Tu es d'accord avec le fait que l'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs unis forment l'ensemble des entiers naturels.

donc pour moi, u(n) est l'ensemble des nombres, image des nombres pairs par u union l'ensemble des nombres, image des nombres impairs par u. (non pas intersection comme j'ai dit en premier mais union).
Et V union V = V

Tu vois ce que je veux dire ?

remplace intersection par union

Soit V un voisinage de l.

(u(2n)) tend vers l, donc il existe un entier naturel N1 tel que, pour tout n > N1, u(2n) € V
(u(2n+1)) tend vers l, donc il existe un entier naturel N2 tel que, pour tout n > N2, u(2n+1) € V

On pose N = max(2N1, 2N2+1)

Soit un n quelconque > N
Si n est pair, alors n s'écrit n=2p avec p > N1, donc u(n) € V
Si n est impair, alors n s'écrit n=2p+1 avec p > N2, donc u(n) € V
Dans les 2 cas, u(n) € V

D'accord, ce détail est clair.