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Un calcul de cos(pi/5) avec complexes

Posté par
Tetsuka 01-12-10 à 16:24

Bonjour à tous,
Pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice?

Enoncé:

Citation :
1) z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z2 + z3 + z4
a. Vérifier que si z 1 alors z' = (1-z5)/(1-z)
b. Que vaut z' si z = ei2/5
     En déduire la valeur de:
         S = 1 + cos(2/5) + cos(4/5) + cos(6/5) + cos(8/5)
2) Montrer que cos(2/5) + cos(8/5) = 4cos2(/5) - 2
et que cos(4/5) + cos(6/5) = -2cos(/5)
3) En déduire que cos(/5) est une solution d'une équation du second degré.
4) Résoudre cette équation et donner la valeur exacte de cos(/5)


Voilà, je ne parviens pas à démarrer: je ne sais pas comment commencer pour la première question...

Merci d'avance!

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 01-12-10 à 16:30

Bonjour

La somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique de raison z.

Tu peux aussi réduire au même dénominateur et regarder...

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 01-12-10 à 19:57

Je vais essayer ça ce soir et je te dis,
Merci pour ta réponse!

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 02-12-10 à 21:00

A-t-on le droit de passer directement de z' = 1 + z + z2 + z3 + z4  à (1-z5)/(1-z) en disant juste que c'est une somme géométrique de raison z? Doit on démontrer la raison?

Sinon je ne parviens pas non plus à résoudre les autres questions...
Un petit coup de main svp?

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 03-12-10 à 14:32

Oui, bien sur qu'on a le droit. Sinon, ça prend une ligne de vérifier que (1-z)(1+z+z^2+z^3+z^4)=1-z^5

1)b) Si z=e^{2i\pi/5} que vaut z^5? et alors que vaut z'?
Remarque que S=Re(z')

2) C'est de la trigonométrie ordinaire... 8\pi/5=2\pi-(2\pi/5)

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 03-12-10 à 16:49

Re-bonjour Camélia,
merci encore pour tes réponses.
J'ai réussi aujourd'hui à résoudre la 1b et la 2
en trouvant z'=0 et donc S = 0

Maintenant j'arrive pas à voir le rapport avec la question 3...
Je remplace cos(/5) par X ? Mais ensuite?

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 03-12-10 à 17:11

Donc

0=1+\cos(2\pi/5)+\cos(8\pi/5)+\cos(4\pi/5)+\cos(6\pi/5)=1+(4X^2-2)+(-2X)

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 03-12-10 à 19:55

Ce qui équivaut donc à
4X2 - 2X - 1 = 0
Mais comment expliquer/montrer que cos(/5) est solution de cette équation?
Juste en déduisant l'équation?

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 04-12-10 à 14:48

C'est fait, non? on a montré que \cos(\pi/5) vérifie cette équation.

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 04-12-10 à 16:40

C'est un peu trouble...
Comment l'expliquer? J'ai du mal à voir clair là dedans...
Parce qu'ensuite il faut la résoudre l'équation, puis en déduire la valeur de cos(/5)
Je ne vois pas vraiment! Dur dur cet exo...

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 04-12-10 à 16:55

Oui, je sais... mais si on pose X=\cos(pi/5), on a vu à la question 2) par des formules trigonométriques que valent 4X^2-1 et -2X et en appliquant le résultat de la première qustion, on voit que

4X^2-2X-1=0

Tu sais quand même résoudre cette équation du second degré, non?

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 04-12-10 à 17:01

Oui...
On a delta = 20
x1 = 2+25/ 8  = 1 + 5 / 4
x2 = 2-25/8 = 1 - 5 /4
Mais lequel vaut cos(/5) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 04-12-10 à 17:06

Celui qui est positif!

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 05-12-10 à 00:10

Dit comme ça c'est facile mais je l'explique comment? ^^

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 05-12-10 à 13:50

Baaah je comprend pas vraiment là...

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 05-12-10 à 14:56

Tu sais que cos(\pi/5) > 0 et tu as le choix entre deux valeurs, une positive et une négative!

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 05-12-10 à 15:34

Je le justifie avec un cercle trigonométrique?

Posté par
Camélia Correcteurre : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 05-12-10 à 15:35

Si tu veux... En terminale il me semble qu'il n'y a pas à trop discuter sur le signe du cosinus sur [0;\pi/2]

Posté par
Tetsukare : Un calcul de cos(pi/5) avec complexes 05-12-10 à 17:51

Merci bien pour ton aide,
Je vais revoir tout ça parce que je ne suis pas au point encore ^^
Sur ce bonne soirée à toi!


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