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Niveau école ingénieur
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Un compact

Posté par
itsmewave
27-03-21 à 20:15

Bonsoir,
comment je peux montrer que \begin{Bmatrix}\frac{(-1)^n}{n};n\in N^* & \end{Bmatrix} \bigcup{}{0}
est un compact,plus précisement comment de montrer que cet ensemble est fermé
Merci d'avance

Posté par
verdurin
re : Un compact 27-03-21 à 20:26

Bonsoir,
on peut montrer que son complémentaire est un ouvert.

Posté par
itsmewave
re : Un compact 27-03-21 à 21:24

Oui, le fait de montrer que ce complémentaire est fermé me semble un peut difficile
pouvez vous me donner une indication?
merci

Posté par
verdurin
re : Un compact 27-03-21 à 21:37

En posant A=\left\lbrace \frac{(-1)^n}{n}\,;n\in\N^*\right\rbrace\cup\lbrace 0\rbrace et B son complémentaire dans \R il me semble assez facile de montrer que B est ouvert.
Pour ceci on prend un élément x de B et on montre qu'il y a une boule ouverte non vide de centre x incluse dans B.
C'est lié au caractère discret de A qui n'a qu'un point d'accumulation.

Posté par
itsmewave
re : Un compact 27-03-21 à 22:59

Je comprends maintenant,
merci infiniment monsieur

Posté par
carpediem
re : Un compact 28-03-21 à 10:07

salut

on peut aussi montrer que toute limite d'une suite d'éléments de A appartient à A ...

Posté par
Ulmiere
re : Un compact 28-03-21 à 11:53

Plus généralement, tu peux montrer par double inclusion que dans un espace séparé, pour toute suite (x_n), l'adhérence de \{x_n, n\in\mathbb{N}\} est exactement sa réunion avec l'ensemble des valeurs d'adhérence de (x_n).
Une valeur d'adhérence étant je le rappelle, un élément a de l'espace tel que pour tout voisinage V de a,  \textrm{Card}(\{n\in\mathbb{N} : x_n\in V\}) = \infty.
En particulier, tout voisinage de a rencontre \{x_n, n\in\mathbb{N}\}, donc est dans son adhérence.

Ici on est dans un espace métrique, donc les valeurs d'adhérence sont les limites de sous-suites. Il n'y en a qu'une seule puisque la suite converge, vers 0.

Posté par
Ulmiere
re : Un compact 28-03-21 à 11:55

erreur : donc a est dans son adhérence*



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