Bonsoir,
on peut montrer que son complémentaire est un ouvert.

Oui, le fait de montrer que ce complémentaire est fermé me semble un peut difficile
pouvez vous me donner une indication?
merci

En posant et B son complémentaire dans il me semble assez facile de montrer que B est ouvert.
Pour ceci on prend un élément x de B et on montre qu'il y a une boule ouverte non vide de centre x incluse dans B.
C'est lié au caractère discret de A qui n'a qu'un point d'accumulation.

Je comprends maintenant,
merci infiniment monsieur

salut

on peut aussi montrer que toute limite d'une suite d'éléments de A appartient à A ...

Plus généralement, tu peux montrer par double inclusion que dans un espace séparé, pour toute suite , l'adhérence de est exactement sa réunion avec l'ensemble des valeurs d'adhérence de .
Une valeur d'adhérence étant je le rappelle, un élément a de l'espace tel que pour tout voisinage V de a,  .
En particulier, tout voisinage de a rencontre , donc est dans son adhérence.

Ici on est dans un espace métrique, donc les valeurs d'adhérence sont les limites de sous-suites. Il n'y en a qu'une seule puisque la suite converge, vers 0.

erreur : donc a est dans son adhérence*