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un développement limité unique
Bonsoir , si on me demande : que signifie cette phrase : la fonction f admet un développement limité d'ordre 2 au point 1 ?
Je réponds : ça veut dire que f se comporte comme un polynome du second degré au point 1 , c'est juste ?
merci
une fonction peut posséder une infinité de dl
les plus courant sont les dl polynomiaux
mais tu as par exemple x = sin x + o(sin x)
d'accord carpediem mais si f possède un DL en un point a , alors ce DL est unique t'es d'accord ?
et es tu d'accord avec ceci : Je réponds : ça veut dire que f se comporte comme un polynome du second degré au point 1 , c'est juste ?
Pas tout-à-fait, c'est trop vague "se comporte".
Par définition, ça veut dire que f est égale à un polynôme de degré 2 plus une fonction dont le quotient par (x-1)² tend vers 0 lorsque x tend vers 1.
Par ailleurs, ce qu'on appelle généralement DL, c'est des approximations polynômiales carpediem!
Et si f admet un DL (dans ce sens là) au voisinage d'un point, alors oui ce DL est unique, sév.
tout à fait ça vient de ce que la limite est unique et chaque coef de ton dl c'est une limite de qq chose (à l'ordre 1, à l'ordre 2,...)
effectivement on essaie d'approcher une fonction par un poly de degré n et il n'y a donc qu'une seule meilleure approximation
à l'ordre 1 on veut une fonction affine d'où la tangente : la courbe de f au voisinage de a est comme une droite si on est suffisamment proche de a
pourquoi dit on que plus l'ordre du DL est grand mieux on approche la fonction ? c'est faux vu que au voisinage du point en question comme tu dis carpediem on a besoin que d'une droite...
Une droite n'est pas assez précise; plus le degré du polynôme augmente, mieux sa courbe épouse celle de f au point considéré.
Mathématiquement, l'erreur commise à l'ordre n est en o(xn), qui tend plus vite vers 0 quand n augmente.
un dl n'est que les premiers termes du développement en série (de Taylor(-Young)) d'une fonction donc plus il est élevé meilleure est ton approximation
effectivement tygweg il y a un reste quand f n'est pas un poly
mais tout poly P de degré n est égale à son dl à l'ordre n en 0 et P(x-a) est le dl de P à l'ordre n en a et le reste est nul : 
(h)=0
un dl n'est que les premiers termes du développement en série (de Taylor(-Young)) d'une fonction
-> Lorsqu'elle est dérivable à l'ordre n en tout cas, oui.
Mais il ne faut pas oublier qu'il y a des fonctions dérivables à l'ordre 1 (et pas plus) et qui ont pourtant des DL de tous ordres.
tout à fait je restais dans un cadre très large
et il y a pire f(x) = |x| + x² n'est pas dérivable et un "dl" à l'ordre 1 (non polynomial) est |x| +x(x)
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