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Un espace compact est complet.
Bonjour,
J'essaye de montrer la proposition suivante : "Un espace compact est complet"
démo :
Je veux essayer de montrer que toute suite de Cauchy converge.
Soit une suite de Cauchy d'élements de A.
Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de convergente.
je me suis arreté là 
Alors :
1°) Est ce que je suis sur la bonne voie ?
2°) ou alors faut-il raisonner d'une toute autre manière, ou utiliser une autre caractérisation de la compacité ?
Merci 
Bonjour
Tu ne l'as pas précisé, mais je suppose que l'espace en question est métrique.
Sinon, il me semble bien que tu es sur la bonne voie.
Si on appelle l la limite de la sous-suite convergente de , on devrait pouvoir en déduire (avec des epsilon par exemple) que
converge.
Sans garantie
Fractal 
bonsoir tout les deux,
comme le dit Fractal tu es sur la bonne voie, il s'agit ensuite je pense d'utiliser la caractérisation des compacts avec Bolzano-Weierstrass...on devrait s'en sortir.
A bientot.
Merci je vais réfléchir à ça.
Robby, j'utilise déjà la propriété de Bolzano Weierstrass quand je dis "Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de (xn) convergente."
à moins qu'il y en ai une autre ?
Bonjour,
je pense qu'il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire.
Si l'on note
une sous suite de (u_n) qui converge vers une limite l alors,
Ainsi pour 
on a pour n assez grand
car
converge vers l
et
car la suite (un) est de Cauchy.
Ainsi:
des que n est assez grand,
Ce qui signifie que (un) cv vers l
Dadou
bé tu as quasiment fini!
une fois que tu as dit que :Soit (x_n) une suite de Cauchy d'élements de A.
Comme A est compact, on peut extraire une sous-suite de (x_n) convergente.
cette sous suite converge vers une limite l qui converge dans A
on a aussi (x_n) qui converge vers l et donc dans A (car (x_n) est de cauchy et donc n'admet qu'une seule valeur d'adhérence)
donc x_n est de cauchy et converge vers un élément de A = A est complet
Merci à vous !
j'ai bien compris la démo de dadou, par contre, j'ai du mal avec celle de mouss.
Tu écris : "cette sous suite converge vers une limite l qui converge dans A
on a aussi (x_n) qui converge vers l "
c'est justement toute la difficulté le passage de la convergence de la sous-suite à la convergence de la suite, non ?
je suppose que l'espace en question est métrique
A mon avis, il n'y a pas de nécessité que ce soit un espace métrique. La démonstration est plus générale.
Sauf erreur
il me semble que comme une suite de cauchy n'a qu'une seule valeur d'adhérence, la suite et toutes ses sous suites converge vers la meme limite.
Mais une suite peut avoir une seule valeur d'adhérence sans converger, et une sous-suite convergente sans que la suite converge.
non ?
la on est dans le cas des suites de cauchy!
voici un théorème du cours :Une suite de Cauchy est convergente si et seulement si elle a une valeur
d'adhérence.
il me semble que comme une suite de cauchy n'a qu'une seule valeur d'adhérence
Elle peut ne pas en avoir dans l'ensemble considéré. Prends une suite de rationnels tendant vers
et une sous-suite convergente sans que la suite converge.
Oui: (-1)n
par contre dans le cas générale, si une sous suite converge vers une limite l alors ce n'est pas nécéssaire que la suite converge vers l
voici un théorème du cours :Une suite de Cauchy est convergente si et seulement si elle a une valeur
d'adhérence.
merci, je connaissais pas ce théorème !
salut Jeanseb
La complétude est une notion métrique et pas topologique, il faut se placer dnas un métrique pour pouvoir parler de suite de cauchy. Donc oui tu es necessairement dans un espace métrique.
Remarque au passage dans un métrique compact une suite converge ssi elle n'a qu'une valeur d'adhérence.
voici la démo de ce théorème :
Il est clair qu'une suite convergente a une valeur d'adhérence, sa limite.
Inversement, si la suite de Cauchy (x_n) a une valeur d'adhérence a, montrons qu'elle
converge vers a.
Soit 
> 0. Il existe un entier m tel que, pour n et p supérieurs à m, on ait
d(x_n, x_p) < /2.
Puisque a est une valeur d'adhérence de la suite, il existe un p > m tel que d(x_p, a) < /2.
Alors, pour n > m on a
d(x_n, a) 
d(x_n, x_p) + d(x_p, a) < /2 + /2 =
ce qui montre que la suite (x_n) converge vers a.
Pour etre sur que ce soit clair, on raisonne donc comme ça :
Soit une suite de Cauchy de A.
Alors il existe une sous-suite qui converge vers l dans A.
l est donc une valeur d'adhérence de la suite .
Or toute suite de Cauchy qui a une valeur d'adhérence converge, donc la suite converge.
C'est bien ça ?
Salut: on peut même dire que (xn) converge vers cette valeur d'adhérence. Or elle apartient bien à l'espace par compacité donc cet espace est complet.
moi c'est comme ca en gros que j'ai rédigé à mon épreuve de partiel de topologie ( on devait montrer que un espace compact est complet!)
mis a part que j'ai pas cité le fait que
toute suite de Cauchy qui a une valeur d'adhérence converge
voici une autre démo que j'ai trouver sur le net :
Soit E un espace métrique compact. Si (x_n) est une suite de Cauchy
de E, elle a au moins une valeur d'adhérence dans E, donc elle est convergente.
bon la j'avoue cette démo est un peu rapide!
Au fait, d'après mon cours : une suite convergente ne possède que sa limite comme valeur d'adhérence.
Salut FF,
J'ai pas pu passer l'agrégation j'étais malade toute la semaine 
Mais je regrette pas parce que y'a que l'analyse qui m'intéressait à l'époque et c'était vraiment hardcore !
Sinon, ma question est idiote, vu que si la suite (un) converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l ce qui équivaut à l valeur d'adhérence
t'en es où toi FF ? exams ?
ok
Moi j'ai passé "mesure et intégration" et "variable complexe" cette semaine !
ET maintenant je suis en vacances jusque septembre 
mouss >> pourquoi dis-tu que tu passeras les rattrapages ? Ca ne s'est pas bien passé ?
Rouliane >> j'espère et je n'aime pas pronostiquer là-dessus au risque de stresser
je suppose qu'on est dans un espace metrique.
Si (xn) est une suite de cauhcy dans un espace métrique compact alors elle admet une valeur d'adhérence et par suite cette suite converge vers cette valeur.il en résulte que l'espace est complet
pour redevenir un peu plus sérieux comment montre-t-on qu'une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence ?
Salut à tous
Rouliane > Suppose par l'absurde l'existence de deux valeurs d'adhérence a et b. Ensuite, utilise le fait que la suite est de Cauchy avec bien choisi (fais un dessin) pour aboutir à une contradiction.
Kaiser
pour répondre a fusion froide : mes partiels se sont très mal pacées!
c'est pas grave la fac c'est cool, j'y retournerais fin juin pour la 2ième session!
(on ira ensemble...ta commencé à réviser?
moi en ce moment désolé mais vraiment beaucoup de problemes...c'est pour ça que je t'appel pas!)
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