Salut

Par exemple K = {0 , 1 , 2} : entiers modulo 3

et E = K^2

E comporte 9 éléments

Combien de bases ??

Bonjour jean-émile;
le premier vecteur d'une base de étant non nul peut ^tre choisi de 8 façons différentes une fois choisi il y a 3 vecteurs de qui lui sont colinéaires (0. , 1. et 2. ) il reste donc choix possibles pour le second vecteur de la base le nombre de bases de est donc .

(u1 , u2) , (u2 , u1) : c'est la même base

Il y a C(8,2) = 28 "paires" de vecteurs non nuls de K^2

Il faut enlever de ces 28 les "paires" formées de deux vecteurs colinéaires

jean-émile

Mais non jean-émile si est une base de , en est une autre pour s'en convaincre il suffit de voir que si un vecteur dea les coordonnées dans l'une il a les coordonnées dans l'autre et en général.

Ce que tu dis , elhor-adbelali, est vrai lorsque il s'agit de bases orientées dans le plan orienté (dét de la base > 0  ou  <0 )

Ton résultat , 48 , c'est pour les bases orientées

Sinon 24 lorsqu'il n'y a pas d'orientation

jean-émile

Erratum et imprécision

Au lieu de "(dét de la base > 0  ou  <0 )"

lire

"B et B' étant deux bases ORDONEES de E ,

B et B' sont dites de même sens ssi determinant de B' dans B > 0 ,

B et B' sont dites de sens contraires ssi determinant de B' dans B < 0 "

C'est plus précis que ce que j'avais écrit

jean-émile

elhor_abdelali
je comprends pas ton raisonnement, le but du forum est de poser des exercices qui posent probleme et si un des inscrits a la solution il donne des indices de maniere a debloquer la personne qui a proposé cet exercice
mais toi la majorité du temps tu poses des exercices et tu en donnes la solution ce que je trouve assez paradoxal
il suffit de se munir d'un livre exercices-corrigés et l'affaire est classée

Re-bonjour jean-émile;
tu sais que dans notre cas det(B) est un élément du corps K qui n'est pas forcément ordonné donc l'écriture
det(B)<0 ou >0 risque de ne pas avoir de sens.
Pour l'étude des endomorphismes en dimension finie on se sert habituellement de l'application
L(E)---->Mn(K) f----> MatB(f) (où B est une base fixée de E)cette application est un isomorphisme d'algèbres qui permet d'identifier un endomorphisme de E à sa matrice dans la base B et on dégage ainsi toutes les propriétés des endomorphismes à partir de celles des matrices:détérminant,trace,diagonalisation,trigonalisation,nilpotence,polynome caractéristique,polynome minimal..
si on change l'ordre des vecteurs de la base B un m^me endomorphisme se retrouve représenté par 2 matrices différentes (dans la m^me base comme tu dis )et notre isomorphisme d'algèbre n'est m^me pas une application

Salut elthor_abdelali

En effet K n'est pas nécessairement ordonné et oublions l'orientation qui , il est vrai , n'a rien à faire ici

Reste la question que je me pose : une base de E c'est :

une partie libre et génératrice de E ??

ou

une famille libre et génératrice de E ??

Quel est d'ailleurs l'intérêt de ma question ??

jean-émile

Bonjour jean-émile;
On trouve parfois aussi l'expression "système libre et générateur".
Il est vrai que la définition mathématique des notions de "famille libre" et "famille génératrice" est indifférente à l'ordre des vecteurs de la famille mais la notion de base,comme on le sait,est intimement liée à celle de coordonnées qui sont une succession ordonnée de scalaires ,à celle de matrices aussi (comme je l'ai déjà expliqué) à mon avis l'importance de l'ordre dans une base ne relève pas de sa définition mais de la cohérence avec d'autres notions où l'ordre est important telles que coordonnées,matrices..

>> aicko

je ne vois pas le mal

>>elhor_abdelali

Sans vouloir pinailler, je crois que l'on peut faire la différence entre base et base ordonnée.

Je me rends compte en effet , comme tu le dis , que tant qu'on ne parle pas de matrice , déterminant , orientation , ordonner ou non la base , ça n'a pas d'importance. Mais ensuite , ordonner devient nécessaire.

Mais revenons à ta question de départ : dénombrer les bases de K^n lorsque K est fini. Je ne vois pas trop comment faire dans le czs général.

jean-émile

Bonjour,
trouver le nombre de bases de K^n, ne peut pas se faire en regardant le nombre d'éléments de Gln(K)?

Bonjour jean-émile,bonjour otto;
Oui,revenons à nos moutons
je crois que le raisonnement fait dans le cas particulier et se généralise pour q et n qcq de la maniére suivante:
il y a dans E vecteurs non nuls donc façons différentes de choisir le 1er vecteur de la base puis choix possibles pour le 2éme vecteur (car il y a q vecteurs coolinéaires au 1er)puis choix possibles pour le 3éme (car il y a vecteurs dans l'espace engendré par les 2 premiers)et ainsi de suite ..on voit alors que le nombre de bases de E est
remarque:
Le nombre de bases non ordonnées est en principe ( il faudra justifier que )

Bien pour les bases la réponse est donnée.(mais il n'y a rien à prouvé sur n!)
Pour les sous -espaces de dimension k , déjà choisissons une base de cet espace dans l'espace de dimension n , on a :
  choix possibles.
Mais maintenant chaque espace de dimension k  peut-être engendré par plusieurs bases , en nombre
Par le lemme des bergers (je rappelle que s'il y 100 pattes dans un champs , c'est qu'il ya a vingt cinq mouton ordinaire à 4 pattes chacun) .
Le nombre de sous -espaces est donc le quotient A/B ,qui est DONC en particulier un entier !

Merci H_aldnoer pour ta compréhension;
Otto,ton intervention me donne une idée pour dénombrer on sait en effet que tout automorphisme de transforme une base de E en une autre fixons nous en une (la canonique par exemple) et considérons l'application qui à tout automorphisme f de associe la base
c'est application est en effet une bijection de vers l'ensemble des bases de on endéduit qu'il y a autant d'automorphismes que de bases et donc que:
Remarque: bien entendu on sait que par le biais de l'isomorphisme d'algèbre cité ci-dessus.

Bienvenue lolo217,ton raisonnement est trés juste pour dénombrer l'ensemble des sous-espaces de tu l'a partitionné suivant la dimension tu as ensuite dénombré tous les systémes libres à vecteurs parmi ces A systémes libres engendrent le m^me sous-espace tu déduit alors que le nombre de sous-espaces de dimension est finalement le nombre total de sous-espaces de est ( le 1 correspond au sous-espace {} )

Toujours par le biais de l'isomorphisme d'algèbres on a que: