Bonjour

Je me souviens de l'idée de base, mais en ce moment je n'ai pas d'exemple sous la main! Si tu prends deux Banach et isomorphes comme espaces vectoriels et non homéomorphes, (tu as probablement ça dans ton cours) il existe iso linéaire non continu, et alors n'est pas non plus continue (à cause du théorème du dit Banach). L'espace muni du sup des deux normes est un Banach et défini par fait l'affaire!

Merci, c'est subtil !

Je m'empresse de chercher un exemple de deux Banach isomorphes, mais non homéomorphes. Ca doit effectivement
être trouvable...

Jeff

Bon, hé bien, je n'en trouve pas, des Banach isomorphes mais non homéomorphes... Help please !!!

Pour des espaces non complets, on peut prendre les isomorphimes non continus (sur le même espace) :

- $(u_n)_n \mapsto (nu_n)_n$ sur $c_{00}$ : l'espace des suites nulles à partir d'un cerain rang.

- $f \mapsto f'$ sur $C^{\infty}$, l'espace des fonctions  indéfiniment dérivables s'annulant en zéro.

- $f \mapsto xf(x)$ sur la classe de Schwartz des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide.

- ou encore la transformée de Fourier sur le sous-espace de $L^1$ des fonctions dont la transformée de Fourier est dans $L^1$.

Et surement beaucoup d'autres...

Mais si l'espace est complet (ou les espaces), je sèche...

Jeff

[Désolé, je refait avec LaTeX] :

Bon, hé bien, je n'en trouve pas, des Banach isomorphes mais non homéomorphes... Help please !!!

Pour des espaces non complets, on peut prendre les isomorphimes non continus (sur le même espace) :

- (sur : l'espace des suites nulles à partir d'un cerain rang.

- sur , l'espace des fonctions  indéfiniment dérivables s'annulant en zéro.

- sur la classe de Schwartz des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide.

- ou encore la transformée de Fourier sur le sous-espace de des fonctions dont la transformée de Fourier est dans .

Et surement beaucoup d'autres...

Mais si l'espace est complet (ou les espaces), je sèche... ;-(

Jeff

Si tu prends les espaces et ils sont bien des Banach et algébriquement de même dimension (card R) donc il existe des isomorphismes algébriques. Ils ne sont pas homéomorphes (j'avoue ne plus me rappeller pourquoi, mais si c'était vrai je crois que je le saurais...) donc ça marche peut-être...

Pourtant est bien bijective continue de dans .

Jeff

Je ne crois pas qu'elle soit surjective...

est dans mais qui serait son antécédent naturel, n'est pas dans

Oups ! Autant pour moi ;-(

J'aimerais pourtant trouver un exemple simple.
Et si possible, sans passer par les espaces produits.
Ca m'a l'air assez embêtant, et je me demande pourquoi.
Dès que l'espace est complet, ça devient, en fait, difficile de construire
de suites d'éléments de la boule unité dont les images sont non bornées.
Alors que pour des espaces non complets, il y a plein d'exemples. C'est
peut-être parce qu'alors la boule unité n'est pas complète ?
OK, ce que je dis est vague, mais je suis perdu devant ce problème
qui me paraissait simple au départ.

Merci pour ton aide, en tout cas.

Jeff

Je suis plutôt rouillée donc vérifie ce que je raconte! Mais si je me rappelais cette histoire de produit, c'est que les exemples ne doivent pas courir les rues...

Attention! Dans un Banach la boule unité fermée est complète! En revanche elle n'est pas compacte dès que la dimension est infinie!

Ce ne sont pas des notions simples, et certaines sont très "rigides" Les propriétés imposées "lient" le tout et on a du mal à faire ce que l'on veut...

Est-ce que le fait que l² soit réflexif mais pas l¹ ne suffirait pas ?

Bonsoir.

On n'a pas besoin de montrer que les deux espaces de Banach ne sont pas homéomorphes, mais seulement qu'il n'existe pas d'homéomorphisme linéaire entre les deux.

S'il existait un homéomorphisme linéaire entre et , alors serait hilbertisable, et donc réflexif, or ce n'est pas le cas.

Merci à vous... je ne me souvenais plus comment ça marchait! J'ai comme ça de temps en temps des éclairs de réminiscences (je ne sais pas si c'est bon ou mauvais signe... )