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Un exercice sur les inégalités Taylor-Lagrange
Bonjour voilà il y a un exercice que je n'arrive pas à résoudre, voici l'énoncé :
Je ne sais pas comment commencer par exemple pour la premiere inégalité qui est :
J'écrit le DL de e^x ce qui donne :
De même pour les autres inégalités mais à partir de là je ne voit pas comment l'on peut les démontrer.
Si quelqu'un pourrait m'aider ou me montrer comment résoudre la 1ere inégalité afin que je puisse tenter les autre sa serait bien sympa.
Je vous remercie par avance.
Je recommence il y a eu un problème avec le langange latex cette fois ci sa devrait aller 
Je ne sais pas comment commencer par exemple pour la premiere inégalité qui est : J'écrit le DL de e^x ce qui donne :
De même pour les autres inégalités mais à partir de là je ne voit pas comment l'on peut les démontrer.
Si quelqu'un pourrait m'aider ou me montrer comment résoudre la 1ere inégalité afin que je puisse tenter les autre sa serait bien sympa.
Je vous remercie par avance.
Autant héberger l'image sur le serveur de l'
afin d'assurer qu'elle reste disponible :
extrait de 
la FAQ du forum :Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?
Merci
merci bien tom et désolé pour l"image mais je ne savais pas comment la redimenssionner
Le principe est à chaque fois le même: d'une façon générale si f(x) admet le développement autour de 0, f(x)=a0+a1x+...+anx^n+... avec un rayon de convergence R, pour tout x inférieur à R en module, f(x)-(a0+a1x+...+anx^n) est du signe de a(n+1)x^(n+1)
Le développement de Taylor de e^x est: e^x = 1 + x + x²/2! + ... + x^n/n! + ...
e^x - 1 - x = x²/2! + ... + x^n/n! + ...
a)
Si x >= 0, tous les termes de la somme du second membre sont >= 0 -->
-->
e^x - 1 - x >= 0
e^x >= 1 + x
---
b)
Si x < 0
e^x - 1 - x = x²/2! + ... + x^n/n! + ...
les termes du second membre sont alternativement positifs et négatifs. Le premier terme est positif et on a |U(n)| > |U(n+1)|, de plus, on a lim(n->oo) [x^n/n!] = 0
Par le théorème de Leibnitz, on a immédiatement que la série constituant le second membre converge vers une valeur positive.
--> e^x - 1 - x >= 0
e^x >= 1 + x
---
Donc, quelle que soit la valeur de x, on a:
e^x >= 1 + x
-----
Rappel du théorème de Leibniz.
Si dans une série alternée u1 - u2 + u3 - u4 + ... (avec les Un > 0), les termes vont en décroissant (u1 > u2 > u3 ...) et si lim(n->oo) U(n) = 0, la série converge, sa somme est positive et n'est pas supérieure au premier terme.
-----
Sauf distraction.
Bonjour,
ici il est question du théorème de Taylor-Lagrange, et non pas de
développement limité
développement en série entière (donc pas de rayon de convergence)
Le théorème de Taylor Lagrange permet de répondre très facilement au problème.
Il nous dit en gros, que l'on peut trouver un réel c contenu dans l'intervalle [a,b] tel que
f(b)=f(a)+...+f^(n)(a)/n!+f^(n+1)(c)/(n+1)!
ici si on prend par exemple b=x et a=0 et que l'on montre que f^(n+1)(c) est forcément bornée, on en tire l'inégalité.(inégalité dite de Taylor-Lagrange d'ailleurs)
Sauf erreur.
A+
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