Inscription / Connexion Nouveau Sujet
un exo sur les suites un autre sur les complexes trigonométrique
Bonjour,
alors voilà j'ai deux exercices à faire pour demain mais je trouve des résultats peu cohérents et donc la suite des exercices se fait avec du mal, voilà les énoncés:
Exercice 1:
On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z (z
1) associe le point M' d'affixe z' tel que: z'=(-iz-2)/(z+1)
Soient A, B et C les points d'affixes respectives a= -1, b= 2i, c= i
1. Soit C' l'image du point C par f. Donner l'affixe c' du point C' sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
2. Calculer l'affixe d du point D ayant pour image par f le point D' d'affixe d'= 1/2
3. Pour tout nombre complexe z différent de -1, on note p le module de z+1 et p' le module de z'+i.
a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1, on pp'=
5
b. Si le point M appartient au cercle (
) de centre A et de rayon 2, montrer qu'alors M'= f(M) appartient à un cercle '), dont on précisera le centre et le rayon.
4. Pour tout nombre complexe z différent de -1, on considère le nombre complexe 
= (z-2i)/(z+1)
a. Interpréter géométriquement l'argument du nombre complexe .
b. Montrer que z'= -i
c. Déterminer l'ensemble (F) des points M d'affixe z tel que z' soit un réel non nul.
d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles () et (F).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les solutions que j'ai trouvé pour l'exercice 1:
1. c'= (i-1)/2
= 2/2 ( cos3
/4 + i sin3/4)
2. Pour d' je trouve 2i-1 mais je suis pas sûre du tout.
3a. |z'+1|=|[(-iz-2)/(z+1)]+i|
= 5
3b. là je bloque totalement, je vois pa comment faire.
4a. je n'arrive pas non plus cette question.
4b. c'est bon.
4c et 4d. je trouve pas non plus
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 2:
1. Précisez l'ensemble Dg de la fonction g définie sur cet ensemble par g(x)= ln (1/(2-x)). Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l'image par g de l'intervalle I= [-2;0] est incluse dans cet intervalle.
2. Soit la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par: U[/sub]0= -2 et U[sub]n+1= g(Un). Montrer que U[/sub]1 appartient à l'intervalle I=[-2;0]. Prouver par récurrence, à l'aide des variations de la fonction g, que la suite (Un) a tous ses termes dans l'intervalle I et est croissante.
3. On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par: V[sub]0= 0 et V[/sub]n+1= g (Vn). Calculer le terme V[sub]1 et montrer que -2
U1V1V00. Etablir par récurrence, à l'aide de la croissance de la fonction g sur l'intervalle [-2;0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on a:
-2UnVnVn-10
preciser le sens de variation de la suite (Vn).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les solutions que j'ai trouvé pour l'exercice 2:
1. Dg= ]2; +
[
j'ai trouvé que g était croissante dans son ensemble de définition mais I n'est pas inclus dans cet intervalle. Il y a donc un problème avec mon ensemble de définition mais je trouve pas d'autres résultats.
2 et 3. je ne comprend rien, c'est le brouillard complet.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Si vous pouviez m'aider ce serait bien gentil, soit vous me donner la marche à suivre soit le résultat que vous avez trouvé et je me débrouillerais avec.
Merci d'avance.
aidez moii!!s'il vous plait, ça fait 3 heures que je suis dessus, je n'y arrive pas!!
youhou vous m'avez oublié?
je demande juste un peu d'aide c'est pour demain!!
allo? quelqu'un pourrait-il m'aider???
1: OK
-----
2: OK
-----
3)
a)
pp' = |(z+1)|.|(z'+i)|
pp' = |(z+1)|.|(-iz-2)/(z+1)+i)|
pp' = |(z+1)|.|(-iz-2+iz+i)/(z+1)|
pp' = |(z+1)|.|(-2+i)/(z+1)|
pp' = |(z+1)|.|(-2+i)|/|(z+1)|
pp' = |(-2+i)|
pp' = V(4+1)
pp' = V5
---
b)
Equation du cercle de centre A et de rayon 2: (x+1)²+y²=4 (1)
-> x²+y² = 3-2x (2)
-> x + 1 = +/- V(4-y²) avec V pour racine carrée. (3)
z' = (-iz-2)/(z+1)
avec z = x+iy
z'=(-ix+y-2)/(x+1+iy) = (y-2-ix)/(x+1+iy)
z'= (y-2-ix)(x+1-iy)/[(x+1+iy)(x+1-iy)]
z' = [(y-2)(x+1)-xy-i(y²-2y+x²+x)]/4
z'=(xy+y-2x-2-xy)/4 - i(y²-2y+x²+x)/4
z'=(y-2(x+1))/4 - i(y²-2y+x²+x)/4
avec (1), (2) et (3) ->
z'=(y -/+ 2V(4-y²))/4 - i(3-2x-2y+x)/4
z'=(y -/+ 2V(4-y²))/4 + i(x+2y-3)/4
z'=(y -/+ 2V(4-y²))/4 + i(+/-V(4-y²)+2y-4)/4
z' = x²+iy'
->
x' = (y -/+ 2V(4-y²))/4
y' = (+/- V(4-y²)+2y-4)/4
x'² = (y²+4(4-y²)-/+4y.V(4-y²))/16
(y'+1)² = [(+/- V(4-y²)+2y-4+4)/4]²
(y'+1)² = [(+/- V(4-y²)+2y)/4]²
(y'+1)² = (4-y²+4y²+/-4y.V(4-y²))/16
x'²+(y'+1)²= (y²+4(4-y²)-/+4y.V(4-y²))/16 + (4-y²+4y²+/-4y.V(4-y²))/16
x'²+(y'+1)²= (y²+4(4-y²)-/+4y.V(4-y²)+4-y²+4y²+/-4y.V(4-y²))/16
x'²+(y'+1)²= (y²+4(4-y²)+4-y²+4y²)/16
x'²+(y'+1)²= (y²+16-4y²+4-y²+4y²)/16
x'²+(y'+1)²= 20/16
x'²+(y'+1)²= 5/4
M' est sur le cercle de centre C et de rayon = (V5)/2
(Il y a d'autres manières plus directes d'y arriver).
-----
4c)
z' = (-iz-2)/(z+1)
avec z = x+iy
z'=(-ix+y-2)/(x+1+iy) = (y-2-ix)/(x+1+iy)
z'= (y-2-ix)(x+1-iy)/[(x+1+iy)(x+1-iy)]
z'=(xy+y-2x-2-xy)/4 - i(y²-2y+x²+x)/[(x+1)²+y²]
z'=(y-2(x+1))/4 - i(y²-2y+x²+x)/[(x+1)²+y²]
z' sera réel si sa partie imaginaire = 0 ->
y²-2y+x²+x = 0
(x+(1/2))²+(y-1)²-(1/4)-1 = 0
(x+(1/2))²+(y-1)² = 5/4
Soit M sur le cercle de centre d'affixe -(1/2)+i et de rayon (V5)/2
Il faut éliminer les points pour lesquels z'=0, soit:
y-2(x+1)=0
Résoudre le système:
(x+(1/2))²+(y-1)² = 5/4
y-2(x+1)=0
On trouve les points (0 ; 2) et (-1 ; 0)
Et donc F est le cercle de centre d'affixe -(1/2)+i et de rayon (V5)/2 mais privé des points A et B
---
d)
Avec D(-1 ; 2) (trouvé avant):
L: (x+(1/2))²+(y-1)² = 5/4
(-1+(1/2))²+(2-1)² =? 5/4
(1/4) + 1 =? 5/4
5/4 =? 5/4
Les coordonnées de D vérifient l'équation de L -> D appartient à L.
---
Avec D(-1 ; 2)
..: (x+1)²+y²=4
(-1+1)² + 2² =? 4
0 + 4 =? 4
Les coordonnées de D vérifient l'équation de ... -> D appartient à ...
-----
Sauf distraction. 
Exercice 2.
1)
g(x) = ln(1/(2-x))
Il faut 1/(2-x) > 0
Donc Df: x dans ]-oo ; 2[
I = [-2 ; 0] est bien inclus dans Df
-----
2)
U(1) = g(U(0))
U(1) = ln(1/(2-(-2)) = ln(1/4) = -1,38...
U(1) est donc bien compris dans [-2 ; 0]
---
g(x)= ln (1/(2-x)).
g '(x) = (2-x).(1/(2-x)²)
g '(x) = 1/(2-x)
g '(x) > 0 sur [-2 ; 0] -> g(x) est croissante.
g(-2) = ln(1/4) = -ln(4)
g(0) = ln(1/2) = -ln(2)
et donc -ln(4) <= g(x) <= -ln(2)
-1,38... <= g(x) <= -0,693...
et a fortiori: g(x) est dans [-2 ; 0]
Si U(n) est dans [-2 ; 0], on a aussi g((U(n)) dans [-2 ; 0]
et donc: Si U(n) est dans [-2 ; 0], on a aussi U(n+1) dans [-2 ; 0]
Comme U(0) est compris dans [-2 ; 0], on a donc U(1) est compris dans [-2 ; 0].
Comme U(1) est compris dans [-2 ; 0], on a donc U(2) est compris dans [-2 ; 0].
Et ainsi de proche en proche, U(n) est compris dans [-2 ; 0] pour tout n de N*
---
h(x) = g(x) - x = ln(1/(2-x)) - x
h'(x) = g'(x) - 1 = 1/(2-x) - 1 = (2-x+1)/(2-x) = (3-x)/(2-x)
h'(x) > 0 pour x dans [-2 ; 0] -> h(x) est croissante.
h(-2) = ln(1/4) + 2 = 0,613... > 0
On a donc h(x) > 0 pour x dans [-2;0]
-> h(U(n)) > 0
g(U(n)) - U(n) > 0
U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n)
La suite Un est donc croissante.
-----
3)
V(1) = g(V(0))
V(1) = ln(1/(2-(0)) = ln(1/2) = -ln(2) = -0,69...
De tout ce qui précède, il vient:
-2 <= U(1) <= V(1) <= V(0) <= 0
---
Essaie de continuer, c'est presque fini ...
Sauf distraction.
Annuler
connectez vous