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Un hyperplan fermé
Bonjour,
Je commence des exercices sur les espaces vectoriels normés mais je ne sais si mes raisonnements sont corrects. Pour cela je sollicite votre aide afin que vous puissiez me mettre sur la bonne voie et que je devienne plus autonome.
On considère l'ensemble E des fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans 
et l'hyperplan H={f
E / f(0)=0 }. On veut montrer que si E est munit de la norme infinie alors H est un fermé.
On prend donc une suite (fn) d'éléments de H qui convergerait vers une fonction f. On a pour tout x dans [0,1] et pour tout n de 
: |fn(x)-f(x)|
||fn-f||
, donc pour tout x de [0,1] on a fn(x)
f(x) ( au sens de la norme infinie ) , en particulier pour x=0 d'où f(0)=0 donc f appartient à H. Ce qui montre que H est un fermé.
J'espère que vous pourrez me corriger ou rectifier des erreurs de rédaction ou de raisonnement ou autres.
Merci d'avance,
Oui vous avez raison, c'est toute la suite qui tend vers la fonction f pour la norme infinie. Merci pour votre réponse.
Sinon en général le raisonnement est bon? Car je pense qu'on peut aussi passer par la continuité de la forme linéaire dont H est le ker.
Merci d'avance
salut
Car je pense qu'on peut aussi passer par la continuité de la forme linéaire
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